뿌리학습 · 고등 수학
이차곡선
원뿔을 평면으로 자르면 자르는 각도에 따라 서로 다른 곡선이 나타난다. 이렇게 얻어지는 포물선, 타원, 쌍곡선을 묶어 이차곡선이라고 한다. 이 단원에서는 세 곡선을 거리에 대한 조건으로 정의하고, 그 조건을 좌표평면 위에서 방정식으로 옮긴 뒤, 곡선에 접하는 직선을 구하는 방법까지 다룬다.
이 단원, 내가 꺼낼 수 있는지 확인해 볼까요?
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개념 정리
포물선은 한 점인 초점과 그 점을 지나지 않는 한 직선인 준선에서 같은 거리에 있는 점들이 그리는 곡선이다. 초점이 이고 준선이 인 포물선의 방정식은 다. 여기서 주의할 점이 있다. 이 곡선은 좌우로 열려 있어 하나의 에 두 개의 가 대응하므로 함수가 아니다. 중학교에서 만난 이차함수의 그래프는 축이 축과 평행한 포물선에 해당한다.
타원은 두 초점에서의 거리의 합이 일정한 점들의 자취다. 그 일정한 값이 장축의 길이와 같다는 점이 중요하다. 초점이 축 위에 있는 타원의 방정식은 ()이고, 초점은 이며 이다. 예를 들어 이면 이므로 초점은 이고 장축의 길이는 이다. 두 분모가 다른 표준형 타원에서는 분모가 큰 쪽의 축 위에 초점이 있다는 점을 먼저 확인해야 한다.
쌍곡선은 두 초점에서의 거리의 차의 절댓값이 일정한 점들의 자취이고, 그 값이 주축의 길이와 같다. 방정식은 이며 초점은 , 이때 이다. 타원에서는 차였던 관계가 여기서는 합이 된다. 이라면 이므로 초점은 이다. 쌍곡선에는 점근선이 있어 곡선이 직선 에 한없이 가까워지지만 만나지는 않는다. 개형을 그릴 때 점근선을 먼저 그리면 편하다.
식만 보고 어떤 곡선인지 알아보는 연습도 필요하다. 표준형으로 정리된 식에서 와 가운데 한쪽만 제곱으로 나타나면 포물선이고, 둘 다 제곱이면서 두 항의 계수의 부호가 같으면 타원, 서로 다르면 쌍곡선이다. 곡선의 종류를 먼저 정하고 나면 초점과 축을 찾는 방법이 따라온다.
이제 접선이다. 이차곡선에 직선의 식을 대입해 얻은 이차방정식이 중근을 갖는 경우, 곧 판별식이 이 되는 조건을 이용해 접선을 구한다. 예를 들어 포물선 에 접하고 기울기가 인 직선을 로 두면, 대입해 정리한 의 판별식이 이어야 하므로 에서 이고 접선은 이다. 접점이 주어졌는지, 기울기가 주어졌는지, 곡선 밖의 한 점을 지난다는 조건이 주어졌는지에 따라 무엇을 미지수로 둘지가 달라지므로 그것부터 정하고 시작해야 한다.
이차곡선은 대수와 기하를 잇는 대표적인 예다. 거리에 대한 조건을 식으로 옮기는 이 과정은 다음 단원에서 공간좌표를 다룰 때, 그리고 벡터로 도형을 나타낼 때 같은 방식으로 이어진다. 미적분Ⅱ를 배우면 음함수의 미분법으로 같은 접선을 다른 방법으로 구할 수도 있다.
자주 하는 착각
포물선
- 포물선을 이차함수의 그래프와 같은 것으로만 본다. 중학교와 공통수학에서 포물선을 위아래로 열린 그래프로만 만났기 때문이다. 이 단원의 포물선은 한 점과 한 직선에서 같은 거리에 있는 점들이 그리는 곡선으로 정의된다. 그래서 좌우로 열린 포물선도 있으며 이때는 하나의 x에 두 개의 y가 대응해 함수가 아니다.
- 포물선의 방정식에서 초점과 준선의 위치를 뒤바꾼다. 식에 들어 있는 수를 좌표로 곧바로 읽기 때문이다. 초점이 x축 위에 있는 표준형에서 초점은 축 위의 한 점이고 준선은 그 반대쪽에 축과 수직으로 놓인 직선이다. 초점의 좌표와 준선의 식에서 부호가 반대라는 점을 함께 기억해야 한다.
타원
- 타원의 정의에서 두 초점까지의 거리의 합이 무엇과 같은지 놓친다. 정의를 거리의 합이 일정하다는 문장으로만 외우기 때문이다. 그 일정한 값은 장축의 길이와 같다. 문제에서 거리의 합이 주어지면 곧바로 장축의 길이를 알 수 있다.
- 타원과 쌍곡선에서 세 값 사이의 관계식을 뒤바꾼다. 두 곡선의 식이 부호만 다르게 생겼기 때문이다. 표준형에서 초점까지의 거리의 제곱은 타원에서는 두 분모의 차와 같고, 쌍곡선에서는 두 분모의 합과 같다. 어느 쪽이 차이고 어느 쪽이 합인지를 정의에서부터 끌어내야 헷갈리지 않는다.
- 초점이 어느 축 위에 있는지 판단하지 않고 계산한다. 표준형을 하나만 외웠기 때문이다. 표준형으로 나타낸 타원에서 두 분모가 다르면 분모가 큰 쪽의 축 위에 초점이 있고, 표준형 쌍곡선에서는 계수가 양수인 제곱항에 대응하는 축 위에 초점이 있다. 축을 먼저 정한 뒤에 값을 구해야 한다.
쌍곡선
- 점근선을 쌍곡선이 어딘가에서 만나는 직선으로 본다. 그래프에서 두 선이 거의 붙어 보이기 때문이다. 점근선은 곡선이 한없이 가까워지지만 만나지는 않는 직선이다. 쌍곡선의 개형을 그릴 때 먼저 그려 두면 곡선의 벌어진 정도를 잡을 수 있다.
- 쌍곡선의 정의에서 두 초점까지의 거리의 차에 절댓값이 붙는다는 점을 놓친다. 한쪽 곡선만 보고 정의를 떠올리기 때문이다. 쌍곡선은 두 초점까지의 거리의 차의 절댓값이 일정한 점들의 자취이고, 그 일정한 값이 주축의 길이와 같다. 절댓값이 있어야 두 곡선이 모두 설명된다.
접선
- 이차곡선의 접선을 구할 때 판별식을 쓰지 않고 곡선의 미분부터 떠올린다. 함수의 접선에서 미분계수를 쓰던 경험 때문이다. 이 단원에서는 직선의 식을 곡선의 식에 대입해 얻은 이차방정식의 판별식이 0이 되는 조건으로 접선을 구한다. 접점이 주어진 경우와 기울기가 주어진 경우 모두 이 방법으로 풀 수 있다.
- 접선 문제에서 무엇이 주어졌는지 가르지 않고 식을 세운다. 접선이라는 말만 보고 절차를 시작하기 때문이다. 접점이 주어졌는지, 기울기가 주어졌는지, 곡선 밖의 점을 지난다는 조건이 주어졌는지에 따라 미지수로 둘 것이 달라진다. 무엇을 미지수로 둘지 정하는 것이 첫 단계다.
곡선의 판별
- 이차곡선의 방정식을 보고 어떤 곡선인지 판단하지 못한다. 세 곡선을 따로 배우고 식을 각각 외우기 때문이다. 표준형으로 정리된 식에서 x와 y 가운데 한쪽만 제곱으로 나타나면 포물선이고, 둘 다 제곱이면서 두 항의 계수의 부호가 같으면 타원, 서로 다르면 쌍곡선이다. 식에서 곡선을 알아보는 연습이 그래프를 그리는 출발점이다.
이런 오개념, 나도 갖고 있을까?
포물선은 이차함수의 그래프와 같은 것이므로 항상 위아래로 열린 곡선이다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
중학교와 공통수학에서 포물선을 이차함수의 그래프로만 접해 왔기 때문에 포물선은 위아래로만 열린다고 생각하기 쉬워요. 그런데 이차곡선 단원에서 포물선은 한 점(초점)과 한 직선(준선)으로부터 거리가 같은 점들의 집합으로 새롭게 정의돼요. 이 정의에 따르면 좌우로 열린 포물선도 존재할 수 있고, 그 경우에는 하나의 x에 두 개의 y가 대응하므로 함수가 아니에요.
포물선 y²=4px에서 초점의 좌표는 (p, 0)이고 준선의 방정식은 x=-p로, 두 부호는 서로 반대이다.정답 보기
O (맞는 설명이에요)
방정식 속 수를 부호 그대로 좌표나 식에 옮겨 읽다 보면 초점과 준선의 위치가 뒤바뀌기 쉬워요. 실제로는 초점은 꼭짓점을 기준으로 축 위의 한쪽에 놓이고, 준선은 그 반대쪽에 축과 수직으로 놓인 직선이에요. 즉 초점의 x좌표와 준선의 방정식에 나타나는 수는 절댓값이 같고 부호가 반대라는 점을 기억하면 혼동을 피할 수 있어요.
타원 위의 한 점에서 두 초점까지의 거리의 합은 일정하지만, 그 값이 장축의 길이와 같은 것은 아니다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
타원의 정의를 '두 초점까지의 거리의 합이 일정하다'는 문장으로만 외우다 보면, 그 일정한 값이 구체적으로 무엇인지 놓치기 쉬워요. 실제로는 그 일정한 값이 바로 장축의 길이와 같아요. 따라서 문제에서 두 초점까지의 거리의 합이 주어지면, 그 값을 곧바로 장축의 길이로 활용할 수 있어요.
나머지 OX 문제와 4지선다 문제는 앱에서 풀어볼 수 있어요.
교육부 고시 제2022-33호 수학 교육과정 기반