뿌리학습 · 고등 수학

함수와 합성함수·역함수

함수는 두 집합 사이의 특별한 대응이다. 한쪽 집합의 각 원소를 다른 쪽 집합의 원소 하나에 정확히 짝지어 주는 규칙이라서, 입력을 넣으면 결과가 하나로 정해진다. 이 단원에서는 함수의 뜻과 그래프를 정리하고, 두 함수를 이어 붙이는 합성함수와 함수를 거꾸로 되돌리는 역함수를 배운다.

이 단원, 내가 꺼낼 수 있는지 확인해 볼까요?

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개념 정리

두 집합

X

Y

에 대하여

X

의 각 원소에

Y

의 원소가 오직 하나씩 대응할 때, 이 대응을

X

에서

Y

로의 함수라 한다.

X

를 정의역,

Y

를 공역이라 하고, 함숫값 전체의 집합을 치역이라 한다. 치역은 공역의 부분집합이며 공역과 다를 수 있다. 그래프로는 정의역의 각 원소

a

에 대하여 직선

x=a

가 그래프와 오직 한 점에서 만나는지를 보고 함수인지 판단한다.

서로 다른 원소에 서로 다른 함숫값이 대응하는 함수를 일대일함수라 하고, 일대일함수이면서 치역과 공역이 같은 함수를 일대일대응이라 한다. 정의역의 각 원소에 자기 자신이 대응하는 함수를 항등함수, 모든 원소에 같은 값이 대응하는 함수를 상수함수라 한다.

두 함수

f

g

가 있을 때

x

에

f

를 먼저 적용하고 그 결과에

g

를 적용하는 합성함수를

g\circ f

로 나타내며, 식으로는

(g\circ f)(x)=g(f(x))

와 같이 쓴다. 기호에서

g

가 앞에 있지만 계산은 안쪽의

f

부터 한다. 예를 들어

f(x)=2x+1

g(x)=x^2

이면

(g\circ f)(x)=(2x+1)^2

이고

(f\circ g)(x)=2x^2+1

이다. 이처럼 합성의 순서를 바꾸면 일반적으로 결과가 달라진다. 한편 세 함수를 합성할 때는 어느 두 개를 먼저 합성해도 결과가 같다.

함수

f

가

X

에서

Y

로의 일대일대응이면,

Y

의 각 원소에서 원래의 원소로 되돌아가는 함수를 만들 수 있고 이를 역함수

f^{-1}

이라 한다. 역함수를 구할 때는

y=f(x)

를

x

에 대하여 풀고

x

와

y

를 서로 바꾼다. 예를 들어

f(x)=2x+1

이면

x=\frac{y-1}{2}

이고,

x

와

y

를 바꾸면

f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}

이다. 이때 원래 함수의 정의역과 치역은 역함수에서 서로 자리를 바꾼다.

f^{-1}(x)

는

\frac{1}{f(x)}

와 다르다는 점에 주의한다.

역함수의 그래프는 원래 함수의 그래프와 직선

y=x

에 대하여 대칭이다.

x

와

y

를 서로 바꾸는 것이 곧 직선

y=x

에 대한 대칭이동이기 때문이다. 또 역함수와 원래 함수를 합성하면 원래 값으로 돌아온다.

X

의 원소

x

에 대하여

(f^{-1}\circ f)(x)=x

이고,

Y

의 원소

x

에 대하여

(f\circ f^{-1})(x)=x

이다.

이 단원은 다음에 배우는 유리함수와 무리함수의 그래프를 이해하는 바탕이 되고, 이후 지수함수와 로그함수가 서로 역함수 관계라는 내용으로 이어진다.

자주 하는 착각

함수의 뜻

두 집합 사이의 대응이면 모두 함수라고 본다. 화살표로 이어져 있으면 함수라고 생각하기 때문이다. 함수가 되려면 정의역의 모든 원소에 공역의 원소가 오직 하나씩 대응해야 한다. 대응되지 않는 원소가 있거나 두 개 이상에 대응되는 원소가 있으면 함수가 아니다.
공역과 치역을 같은 것으로 본다. 둘 다 함숫값이 들어가는 집합이라고 생각하기 때문이다. 공역은 함숫값이 속할 수 있는 집합 전체이고, 치역은 실제로 나온 함숫값의 집합이다. 치역은 공역의 부분집합이다.
그래프로 함수인지 판단할 때 x축에 평행한 직선을 긋는다. 판단 기준 직선의 방향을 헷갈리기 때문이다. 함수의 그래프는 정의역의 각 원소 a에 대하여 직선 x=a와 오직 한 점에서 만나야 한다. 한 x값에 y값이 둘 이상 대응하면 함수가 아니다.
일대일함수와 일대일대응을 같은 것으로 본다. 둘 다 '일대일'이라는 말이 들어가기 때문이다. 일대일함수는 서로 다른 원소에 서로 다른 함숫값이 대응하는 함수이고, 일대일대응은 여기에 치역과 공역이 같다는 조건이 더해진 것이다.

합성함수

f와 g의 합성함수를 계산할 때 순서를 거꾸로 적용한다. 기호에서 g가 앞에 쓰이기 때문이다. g(f(x))는 x에 f를 먼저 적용하고 그 결과에 g를 적용한다. 안쪽부터 계산한다고 기억하면 된다.
합성의 순서를 바꿔도 결과가 같다고 본다. 수의 곱셈처럼 순서가 상관없다고 생각하기 때문이다. g(f(x))와 f(g(x))는 일반적으로 다르다. f(x)=2x+1, g(x)=x²이면 앞의 것은 (2x+1)², 뒤의 것은 2x²+1이다.
합성할 때 앞 함수의 함숫값이 뒤 함수에 넣을 수 있는 값인지 확인하지 않는다. 식만 대입하면 된다고 생각하기 때문이다. 먼저 적용한 함수의 치역이 나중에 적용할 함수의 정의역에 포함되어야 합성함수가 정의된다.

역함수

모든 함수에 역함수가 있다고 본다. 식을 x에 대하여 풀기만 하면 된다고 생각하기 때문이다. 역함수는 일대일대응인 함수에만 존재한다. 한 함숫값에 두 개 이상의 원소가 대응하면 거꾸로 돌아갈 수 없다.
f의 역함수를 1을 f(x)로 나눈 값으로 착각한다. 역함수 기호의 -1이 거듭제곱의 역수처럼 보이기 때문이다. 역함수는 함숫값에서 원래 원소로 되돌리는 함수이고, 1을 f(x)로 나눈 값과는 다르다.
역함수를 구한 뒤 정의역과 치역이 서로 바뀐다는 점을 놓친다. 식을 구하는 데만 집중하기 때문이다. 원래 함수의 정의역은 역함수의 치역이 되고, 원래 함수의 치역은 역함수의 정의역이 된다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

두 집합 사이에 화살표로 대응이 이루어지면 그것은 모두 함수이다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

화살표로 연결된 그림을 보면 '연결되어 있으니 함수겠지'라고 생각하기 쉬워요. 그런데 실제로는 정의역에 대응되지 않는 원소가 있거나, 한 원소가 공역의 두 개 이상에 동시에 대응되면 함수가 아니에요. 즉, 화살표가 존재한다는 것만으로는 함수의 조건을 만족했다고 볼 수 없어요.

치역은 실제로 나온 함숫값들의 집합으로, 공역의 부분집합이다.정답 보기

O (맞는 설명이에요)

공역과 치역 모두 함숫값과 관련된 집합이다 보니 같은 것으로 여기기 쉬워요. 하지만 공역은 함숫값이 속할 수 있는 집합 전체를 가리키고, 치역은 그 중에서 실제로 함수에 의해 만들어진 값들만 모은 집합이에요. 그래서 치역은 공역과 같거나 공역보다 작은, 공역의 부분집합이 돼요.

그래프가 함수인지 판단하려면 x축에 평행한 직선을 그어 한 점에서만 만나는지 확인해야 한다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

함수 판별에 직선을 긋는다는 것은 맞지만, 그 직선의 방향을 x축에 평행한 가로 방향으로 헷갈리기 쉬워요. 실제로는 x=a와 같이 y축에 평행한 세로 방향의 직선을 그어야 해요. 한 x값에 y값이 둘 이상 대응하는지를 확인하는 것이므로, 세로 직선이 그래프와 두 점 이상에서 만나면 함수가 아니에요.

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