뿌리학습 · 고등 수학
지수함수와 로그함수
앞 단원에서 지수를 실수까지 넓히고 그 반대 방향인 로그를 배웠다. 이제 이 둘을 함수로 본다. 변하는 양이 일정한 비율로 커지거나 작아지는 현상은 지수함수로, 그 반대로 아주 큰 값의 변화를 완만하게 눌러 보는 일은 로그함수로 다룬다. 두 함수는 서로 역함수 관계라 한 쌍으로 이해하는 것이 좋다.
이 단원, 내가 꺼낼 수 있는지 확인해 볼까요?
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개념 정리
이고 일 때 를 지수함수라 한다. 밑에 조건이 붙는 이유가 있다. 밑이 이면 인 상수함수가 되어 서로 다른 에 같은 값이 대응하므로 역함수인 로그함수를 정의할 수 없고, 밑이 음수이면 지수가 실수일 때 값을 정할 수 없기 때문이다. 여기서 변수가 어디에 있는지도 구분해야 한다. 지수함수는 지수 자리에 변수가 있는 함수이고, 변수가 밑에 있는 같은 식은 다른 종류의 함수다.
지수함수의 그래프를 보자. 정의역은 실수 전체이고 치역은 양의 실수 전체다. 값이 항상 양수이므로 그래프는 축에 한없이 가까워질 뿐 만나지 않으며, 이때 축이 점근선이 된다. 밑이 무엇이든 이므로 그래프는 항상 점 을 지난다. 밑이 보다 크면 오른쪽으로 갈수록 값이 커져 증가하고, 밑이 과 사이이면 감소한다. 이 차이가 이후 모든 판단에 영향을 준다.
로그함수는 이며 지수함수의 역함수다. 그래서 두 그래프는 직선 에 대해 대칭이다. 지수함수의 정의역과 치역이 뒤바뀌어 로그함수의 정의역은 양의 실수 전체, 치역은 실수 전체가 된다. 그래프는 축에 한없이 가까워지지만 만나지 않아 축이 점근선이 되고, 항상 점 을 지난다. 밑이 보다 크면 증가하고 과 사이이면 감소하는 것도 지수함수와 같은 방식이다.
이 성질로 방정식과 부등식을 푼다. 밑을 같게 맞춘 뒤 지수끼리 또는 진수끼리 비교하는 것이 기본이다. 부등식에서는 한 가지를 꼭 확인해야 한다. 밑이 보다 크면 부등호의 방향이 그대로지만, 밑이 과 사이이면 함수가 감소하므로 방향이 반대가 된다. 예를 들어 은 밑이 보다 작으므로 이다. 또 로그가 들어간 방정식을 풀었다면 구한 값이 진수와 밑의 조건을 만족하는지 확인해 맞지 않는 값은 버려야 한다.
두 함수는 현상을 다루는 도구이기도 하다. 일정한 비율로 늘어나는 인구나 원금, 반으로 줄어드는 약물의 농도는 지수함수로 나타난다. 반대로 지진의 규모나 소리의 세기처럼 값의 폭이 아주 큰 양은 로그를 써서 다루기 쉬운 크기로 바꾼다. 어떤 값이 다른 값의 몇 배인지 물으면 각각을 구하기보다 로그의 성질로 차를 구하는 편이 간단하다.
지수함수와 로그함수는 이후 학습에서 계속 등장한다. 미적분Ⅱ에서는 이 두 함수의 미분과 적분을 다루고, 자연현상을 설명하는 모형의 기본 꼴로도 쓰인다. 그래프의 모양과 밑에 따른 증가·감소를 몸에 익혀 두면 그때 훨씬 수월하다.
자주 하는 착각
지수함수와 로그함수의 뜻
- 지수함수의 밑에 어떤 수든 올 수 있다고 본다. 지수법칙을 쓰던 습관 때문이다. 지수함수는 밑이 1이 아닌 양수일 때 정의한다. 밑이 1이면 값이 늘 1인 상수함수가 되어 서로 다른 x에 같은 값이 대응하므로 역함수인 로그함수를 정의할 수 없고, 밑이 음수이면 지수가 실수일 때 값을 정할 수 없다.
- 밑에 변수가 있는 식과 지수에 변수가 있는 식을 구분하지 않는다. 겉모양이 비슷하기 때문이다. 지수함수는 지수 자리에 변수가 있는 함수다. 변수가 밑에 있고 지수가 상수이면 거듭제곱 꼴의 다른 함수다.
- 로그함수를 지수함수와 따로 떨어진 함수로 본다. 두 단원을 나누어 배우기 때문이다. 로그함수는 지수함수의 역함수이며, 두 그래프는 직선 y=x에 대해 대칭이다. 한쪽의 성질을 알면 다른 쪽을 그대로 읽을 수 있다.
그래프의 성질
- 지수함수의 그래프가 x축과 만난다고 본다. 그래프가 축에 아주 가까워지기 때문이다. 지수함수의 값은 항상 양수여서 그래프가 x축에 한없이 가까워질 뿐 만나지 않는다. 치역이 양의 실수 전체라는 뜻이다.
- 로그함수의 정의역을 실수 전체로 본다. 그래프가 좌우로 뻗어 보이기 때문이다. 진수가 양수여야 하므로 로그함수의 정의역은 양의 실수 전체다. 그래프는 y축에 한없이 가까워지지만 만나지 않는다.
- 밑이 1보다 작은 경우를 따로 살피지 않는다. 예제가 대부분 밑이 1보다 큰 경우이기 때문이다. 밑이 1보다 크면 증가하고, 밑이 0과 1 사이이면 감소한다. 증가와 감소가 뒤집히므로 대소를 비교할 때 결론도 뒤집힌다.
- 지수함수와 로그함수가 지나는 고정된 점을 기억하지 않는다. 그래프를 감으로 그리기 때문이다. 밑이 무엇이든 지수함수의 그래프는 점 (0, 1)을 지나고, 로그함수의 그래프는 점 (1, 0)을 지난다. 그래프를 그릴 때 기준점이 된다.
방정식과 부등식, 활용
- 지수나 로그가 들어간 부등식에서 밑의 크기를 확인하지 않고 부등호를 그대로 둔다. 방정식을 풀던 방식을 옮기기 때문이다. 밑이 1보다 크면 부등호의 방향이 유지되고, 밑이 0과 1 사이이면 방향이 반대가 된다. 밑을 먼저 확인해야 한다.
- 로그방정식을 풀고 구한 값을 그대로 답으로 쓴다. 식을 풀면 끝이라고 보기 때문이다. 진수와 밑의 조건을 만족하는지 확인해 조건에 맞지 않는 값은 버려야 한다. 이 확인을 빠뜨리면 답에 없는 값이 섞인다.
- 실생활 문제에서 두 값의 비를 구하는데 값을 각각 구하려 한다. 식을 그대로 계산하려 하기 때문이다. 두 값의 비나 몇 배인지를 묻는다면 로그의 성질로 차를 구하는 편이 간단하다. 폭이 큰 값을 다룰 때 로그를 쓰는 이유가 여기에 있다.
이런 오개념, 나도 갖고 있을까?
지수함수의 밑에는 어떤 수든 올 수 있다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
지수법칙을 다룰 때 밑에 다양한 수를 자유롭게 사용해 왔기 때문에, 지수함수에서도 밑의 범위에 별다른 제한이 없다고 생각하기 쉬워요. 실제로는 밑이 1이면 지수에 어떤 실수를 넣어도 함숫값이 항상 1인 상수함수가 되어 역함수인 로그함수를 정의할 수 없고, 밑이 음수이면 지수가 실수일 때 함숫값을 정할 수 없어요. 그래서 지수함수는 밑이 1이 아닌 양수일 때만 정의해요.
지수함수는 지수 자리에 변수가 있는 함수이며, f(x) = x³처럼 밑에 변수가 있고 지수가 상수인 식은 지수함수가 아니다.정답 보기
O (맞는 설명이에요)
지수(위쪽 자리)와 밑(아래쪽 자리) 모두 변수가 들어갈 수 있어서, 어느 쪽에 변수가 있든 비슷해 보이기 쉬워요. 실제로는 변수가 지수 자리에 있어야 지수함수이고, f(x) = x³처럼 변수가 밑 자리에 있고 지수가 상수인 식은 지수함수가 아닌 거듭제곱 꼴의 다른 함수예요.
로그함수는 지수함수와 별개의 독립적인 함수이므로, 두 함수의 성질은 서로 관련이 없다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
지수함수와 로그함수를 교과서에서 순서대로 따로 배우다 보면, 두 함수를 전혀 다른 별개의 내용으로 받아들이기 쉬워요. 실제로는 로그함수는 지수함수의 역함수로, 두 그래프를 직선 y=x에 대해 겹쳐 보면 서로 대칭이에요. 그래서 지수함수의 그래프나 성질을 알고 있으면, 그것을 그대로 로그함수에 적용해 읽어낼 수 있어요.
나머지 OX 문제와 4지선다 문제는 앱에서 풀어볼 수 있어요.
교육부 고시 제2022-33호 수학 교육과정 기반