피어남

뿌리학습 · 고등 수학

미분법

미적분Ⅰ에서는 다항함수만 미분했다. 그런데 자연과 사회의 변화를 나타내는 함수는 훨씬 다양하다. 이 단원에서는 지수함수와 로그함수, 삼각함수를 미분하는 법을 익히고, 함수들이 겹쳐지거나 나누어진 식도 다룰 수 있는 여러 가지 미분법을 배운다. 마지막으로 그 도구로 그래프의 모양을 더 자세히 읽는다.

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개념 정리

먼저 새로운 수 하나가 등장한다. 양의 정수 nn에 대해 (1+1n)n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n에서 nn을 한없이 크게 하면 어떤 값에 다가가는데, 이 값을 ee라 하고 그 값은 약 2.7182.718이다. 실수 xx를 써서 lim⁡x→0(1+x)1x=e\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e로 나타내기도 한다. ee를 밑으로 하는 로그를 자연로그라 하고 ln⁡x\ln x로 쓴다. 이 수를 쓰면 미분이 간단해진다. y=exy=e^x의 도함수는 자기 자신인 exe^x이고, x>0x>0에서 y=ln⁡xy=\ln x의 도함수는 1x\frac{1}{x}다. 밑이 ee가 아니면 한 항이 더 붙는다. a>0a>0이고 a≠1a\ne1일 때 y=axy=a^x의 도함수는 axln⁡aa^x\ln a이고, x>0x>0에서 y=log⁡axy=\log_a x의 도함수는 1xln⁡a\frac{1}{x\ln a}다.
삼각함수도 미분할 수 있다. 바탕이 되는 것은 xx가 00에 가까워질 때 sin⁡xx\frac{\sin x}{x}가 11에 가까워진다는 성질이며, 이는 각을 호도법으로 잴 때 성립한다. 이 성질에서 y=sin⁡xy=\sin x의 도함수가 cos⁡x\cos x, y=cos⁡xy=\cos x의 도함수가 −sin⁡x-\sin x임이 나온다. 한쪽에만 음의 부호가 붙는다는 점을 기억해야 한다. 여러 각이 섞인 식을 정리할 때는 덧셈정리를 쓴다. sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta이고 cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta이며, 탄젠트의 덧셈정리는 tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}다. 코사인에서는 부호가 반대로 붙는다는 점이 갈림길이다.
이제 식의 모양이 복잡해져도 미분할 수 있도록 도구를 늘린다. 몫의 미분법은 {f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x){g(x)}2\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}이다. 분자에서 빼는 순서를 바꾸면 부호가 반대가 되므로 주의해야 한다. 합성함수의 미분법은 바깥쪽 함수를 미분한 것에 안쪽 함수를 미분한 것을 곱한다. 이 마지막 곱셈을 빠뜨리는 실수가 가장 흔하다.
변수가 직접 드러나지 않는 식도 다룬다. xx와 yy가 매개변수 tt로 각각 주어지고 dxdt≠0\frac{dx}{dt}\ne0이면 dydx=dy/dtdx/dt\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}로 구한다. xx와 yy가 섞인 식으로 주어진 음함수에서는 yy를 xx의 함수로 보고 양변을 미분한다. 이때 yy가 들어간 항에는 yy의 도함수가 함께 곱해진다. 역함수의 도함수는 대응하는 점에서의 원래 함수의 도함수의 역수다. 어느 점의 값을 쓰는지가 핵심이어서, 역함수의 어떤 점에서의 미분계수를 구하려면 원래 함수에서 그 값에 대응하는 점을 먼저 찾아야 한다.
이 도구들로 그래프를 더 자세히 그릴 수 있다. 도함수로 증가와 감소, 극값을 찾는 것은 앞에서 배운 그대로다. 여기에 도함수를 한 번 더 미분한 이계도함수가 더해진다. 도함수를 한 번 더 미분한 것을 이계도함수라 하고 f′′(x)f^{\prime\prime}(x) 또는 d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}로 쓴다. 이계도함수의 값이 양수인 구간에서 그래프는 아래로 볼록하고, 음수인 구간에서는 위로 볼록하다. 볼록한 방향이 바뀌는 점을 변곡점이라 한다. 여기서 주의할 점은 이계도함수의 값이 00이라고 해서 모두 변곡점은 아니라는 것이다. y=x4y=x^4은 원점에서 이계도함수가 00이지만 볼록한 방향이 바뀌지 않아 변곡점이 아니다.
마지막으로 운동이다. 위치를 미분하면 속도이고 속도를 한 번 더 미분하면 가속도다. 수직선 위의 운동이라면 속도의 부호가 정해 둔 방향을 기준으로 운동 방향을 나타내고, 속도의 절댓값이 속력이다. 두 말을 섞어 쓰지 않아야 한다. 여기서 익힌 미분법은 다음 단원의 적분법과 짝을 이룬다. 치환적분법과 부분적분법이 각각 합성함수의 미분법과 곱의 미분법을 뒤집은 것이기 때문이다.

자주 하는 착각

지수함수와 로그함수의 미분

  1. 자연로그의 밑을 다른 수와 섞어 쓴다. 로그의 밑이 여러 가지였기 때문이다. 자연로그는 밑이 e인 로그이고 ln으로 적는다. 상용로그의 밑이 10인 것과 구분해야 한다.
  2. 지수함수를 미분할 때 밑이 e가 아닌 경우의 처리를 빠뜨린다. e의 x제곱을 미분하면 그대로라는 것만 기억하기 때문이다. 밑이 e가 아닌 지수함수는 밑이 0보다 크고 1이 아닐 때 미분하면 원래 함수에 그 밑의 자연로그를 곱한 값이 된다. 로그함수도 밑이 e가 아니면 같은 방식으로 한 항이 더 붙는다.

삼각함수의 미분

  1. 사인과 코사인의 도함수에서 부호를 뒤바꾼다. 두 결과가 서로 짝이라 헷갈리기 때문이다. 사인을 미분하면 코사인이고, 코사인을 미분하면 사인에 음의 부호가 붙는다. 한쪽에만 부호가 생긴다.
  2. 삼각함수의 극한에서 각의 단위를 확인하지 않는다. 각을 도로 재던 습관 때문이다. x가 0에 가까워질 때 사인 x를 x로 나눈 값이 1에 가까워진다는 성질은 각을 호도법으로 잴 때 성립한다.
  3. 덧셈정리에서 부호를 잘못 쓴다. 두 식의 모양이 비슷하기 때문이다. 사인의 덧셈정리와 코사인의 덧셈정리는 부호가 반대로 움직인다. 특정한 각을 넣어 확인하면 어느 쪽인지 바로 알 수 있다.

여러 가지 미분법

  1. 몫의 미분법에서 분자의 두 항의 순서를 바꾼다. 곱의 미분법과 모양이 비슷하기 때문이다. 분자는 분자를 미분한 것에 분모를 곱한 값에서 분자에 분모를 미분한 것을 곱한 값을 뺀다. 순서를 바꾸면 부호가 반대가 된다.
  2. 합성함수를 미분할 때 안쪽 함수의 도함수를 곱하지 않는다. 바깥쪽만 미분하면 끝이라고 생각하기 때문이다. 합성함수의 도함수는 바깥쪽을 미분한 것에 안쪽을 미분한 것을 곱한다. 이 곱하는 단계를 빠뜨리는 실수가 가장 잦다.
  3. 음함수를 미분할 때 y를 상수처럼 다룬다. 식에 y가 문자로 들어 있기 때문이다. y는 x에 대한 함수이므로 y가 들어간 항을 미분하면 y의 도함수가 함께 곱해진다.

도함수의 활용

  1. 이계도함수가 0인 점을 모두 변곡점이라고 본다. 변곡점을 찾을 때 그 방정식부터 풀기 때문이다. 변곡점은 그래프의 볼록한 방향이 바뀌는 점이므로, 이계도함수의 값이 0이어도 그 좌우에서 볼록한 방향이 바뀌지 않으면 변곡점이 아니다. 이계도함수가 있는 구간에서는 그 부호가 바뀌는지로 확인한다.
  2. 속도와 속력을 같은 것으로 본다. 일상에서 두 말을 섞어 쓰기 때문이다. 속도는 위치를 미분한 값이고 속력은 그 크기다. 가속도는 속도를 한 번 더 미분한 값이다. 수직선 위의 운동에서는 속도의 부호가 정해 둔 방향을 기준으로 운동 방향을 나타낸다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

자연로그 ln의 밑은 상황에 따라 10이 될 수도 있다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

로그를 배울 때 밑이 2, 3, 10 등 다양하게 등장하다 보니, 자연로그 ln의 밑도 바뀔 수 있다고 생각하기 쉬워요. 실제로는 ln은 밑이 e인 로그를 나타내는 고유한 표기로, 밑이 10인 상용로그와는 완전히 다른 표기예요.
밑이 e가 아닌 지수함수를 미분하면 원래 함수에 그 밑의 자연로그를 곱한 값이 된다.정답 보기

O (맞는 설명이에요)

e의 x제곱을 미분하면 자기 자신이 그대로 나온다는 사실이 강하게 기억되다 보니, 밑이 e가 아닌 경우에도 같은 결과가 나온다고 생각하기 쉬워요. 실제로는 밑이 0보다 크고 1이 아닌 지수함수를 미분할 때는 원래 함수에 그 밑의 자연로그를 추가로 곱해 주어야 하고, 로그함수도 밑이 e가 아니면 마찬가지로 한 항이 더 붙는 형태가 돼요.
코사인을 미분하면 사인이 되고, 사인을 미분하면 음의 부호가 붙은 코사인이 된다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

사인과 코사인의 도함수는 서로 짝을 이루는 형태라 어느 쪽에 음의 부호가 붙는지 뒤바꿔 기억하기 쉬워요. 실제로는 코사인을 미분할 때 음의 부호가 생기는 것이지, 사인을 미분할 때는 음의 부호 없이 그냥 코사인이 나와요.

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