피어남

뿌리학습 · 고등 수학

등차수열과 등비수열

수를 일정한 규칙에 따라 차례로 나열한 것을 수열이라고 한다. 계단처럼 같은 양씩 늘어나는 것도 있고, 세포가 갈라지듯 같은 배수로 늘어나는 것도 있다. 이 단원에서는 이 두 가지를 등차수열과 등비수열이라는 이름으로 정리하고, 각 항을 번호로 나타내는 식과 여러 항을 한꺼번에 더하는 방법을 배운다.

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개념 정리

수열에서 나열된 각각의 수를 항이라 하고, 앞에서부터 첫째항, 둘째항이라 부른다. 제nn항을 nn에 대한 식으로 나타낸 것이 일반항 ana_n이다. 여기서 nn은 항의 번호이므로 자연수만 들어간다는 점을 잊지 말아야 한다. 또 앞의 몇 항만 보고 규칙을 단정할 수는 없다. 규칙이나 항 사이의 관계가 주어져야 수열이 하나로 정해진다.
이웃한 두 항의 차가 일정한 수열을 등차수열이라 하고 그 일정한 차를 공차라 한다. 공차는 뒤의 항에서 앞의 항을 뺀 값이다. 첫째항이 aa, 공차가 dd인 등차수열에서 제nn항으로 가려면 공차를 n−1n-1번 더하므로 일반항은 an=a+(n−1)da_n=a+(n-1)d다. 예를 들어 첫째항이 33이고 공차가 44이면 an=4n−1a_n=4n-1이다. 세 수 a, b, ca,\ b,\ c가 이 순서로 등차수열을 이루면 2b=a+c2b=a+c이고, 이때 bb를 등차중항이라 한다.
등차수열의 합은 짝을 지어 구한다. 첫째항과 끝항, 둘째항과 끝에서 둘째항을 각각 더하면 그 값이 모두 같기 때문이다. 첫째항이 aa, 제nn항이 ll일 때 첫째항부터 제nn항까지의 합은 Sn=n(a+l)2S_n=\frac{n(a+l)}{2}이고, 공차 dd를 이용하면 Sn=n{2a+(n−1)d}2S_n=\frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}다. 앞의 예에서 첫째항이 33, 공차가 44인 수열의 첫째항부터 제1010항까지의 합은 10×(6+36)2=210\frac{10\times(6+36)}{2}=210이다. 여기서 주의할 것은 nn이 항의 개수라는 점이다. 제55항부터 제1212항까지 더한다면 항의 개수는 12−5+1=812-5+1=8이다.
00이 아닌 첫째항에 00이 아닌 일정한 수를 차례로 곱해 만든 수열을 등비수열이라 하고, 곱하는 그 일정한 수를 공비라 한다. 등비수열의 항은 00이 아니므로 공비는 뒤의 항을 앞의 항으로 나눈 값으로 구할 수 있다. 첫째항이 aa, 공비가 rr이면 일반항은 an=arn−1a_n=ar^{n-1}이다. 첫째항이 22, 공비가 33이면 an=2×3n−1a_n=2\times3^{n-1}이다. 세 수가 이 순서로 등비수열을 이루면 가운데 수의 제곱이 양 끝 두 수의 곱과 같고, 이 가운데 수를 등비중항이라 한다. 양 끝 두 수의 곱이 양수이면 조건을 만족하는 수가 양수와 음수로 두 개 나온다.
등비수열의 합에는 경우가 나뉜다. 공비가 11이 아니면 Sn=a(rn−1)r−1S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}이고, 공비가 11이면 모든 항이 첫째항과 같으므로 Sn=naS_n=na다. 공식을 쓰기 전에 공비가 11인지부터 확인해야 한다. 첫째항이 22, 공비가 33인 수열의 첫째항부터 제55항까지의 합은 2×(35−1)3−1=242\frac{2\times(3^5-1)}{3-1}=242다. 한편 제nn항은 첫째항에 공비를 n−1n-1번 곱한 값이고 첫째항과 공비가 모두 00이 아니므로, 등비수열에서는 어떤 항도 00이 되지 않는다. 공비의 절댓값이 11보다 작으면 항의 값이 00에 한없이 가까워질 뿐이다.
이 단원의 내용은 곧바로 이어진다. 여러 수열의 합을 다루는 다음 단원에서 합의 기호를 배워 등차수열과 등비수열의 합을 더 간단히 나타내게 되고, 항 사이의 관계로 수열을 정의하는 귀납적 정의에서도 두 수열이 기본 예로 쓰인다. 등비수열의 합은 나중에 진로 선택 과목인 미적분Ⅱ에서 항을 끝없이 더하는 급수로 확장된다.

자주 하는 착각

수열과 일반항

  1. 앞의 몇 항만 보고 규칙을 단정해 일반항을 정한다. 수가 나열되어 있으면 규칙이 하나뿐이라고 생각하기 때문이다. 2, 4, 8로 시작하는 수열은 다음 항이 16일 수도 있고 다른 규칙에 따라 14일 수도 있다. 규칙이나 관계식이 주어져야 수열이 하나로 정해진다는 점을 짚고 시작해야 한다.
  2. 일반항의 n에 어떤 수든 넣을 수 있다고 본다. 일반항이 식으로 주어져 함수처럼 보이기 때문이다. 수열에서 n은 항의 번호이므로 자연수만 들어간다. 제2.5항 같은 것은 없고, n에 관한 식으로 풀었더라도 답이 자연수인지 확인해야 한다.

등차수열

  1. 공차를 앞의 항에서 뒤의 항을 뺀 값으로 계산한다. 뺄셈의 순서를 정해 두지 않았기 때문이다. 공차는 뒤의 항에서 앞의 항을 뺀 값이다. 순서를 바꾸면 부호가 반대가 되어 이후의 모든 계산이 뒤집힌다.
  2. 등차수열의 일반항을 첫째항에 공차의 n배를 더한 꼴로 쓴다. 제n항이니 공차를 n번 더한다고 생각하기 때문이다. 첫째항에서 제n항까지 가려면 공차를 n−1번 더하므로 일반항은 첫째항에 공차의 (n−1)배를 더한 값이다. 제1항에서 확인해 보면 바로 드러난다.
  3. 세 수가 등차수열을 이룰 때 가운데 수를 양 끝 수의 곱과 연결한다. 중항이라는 말만 기억하고 어느 쪽 수열인지 가리지 않기 때문이다. 등차수열에서는 가운데 수의 2배가 양 끝 두 수의 합과 같다. 곱으로 연결되는 것은 등비수열의 중항이다.
  4. 합을 구할 때 항의 개수를 잘못 센다. 제몇 항까지인지를 그대로 개수로 쓰기 때문이다. 제k항부터 제n항까지 더한다면 항의 개수는 n−k+1이다. 합 공식에 넣는 것은 항의 개수이므로 이 수를 먼저 정확히 세야 한다.

등비수열

  1. 공비를 뒤의 항에서 앞의 항을 뺀 값으로 구한다. 등차수열에서 공차를 구하던 방법을 그대로 쓰기 때문이다. 등비수열의 항은 0이 아니므로 공비는 뒤의 항을 앞의 항으로 나눈 값으로 구한다. 더하며 커지는 수열과 곱하며 커지는 수열을 구분해야 한다.
  2. 등비수열의 합을 구할 때 공비가 1인 경우를 빠뜨린다. 공식 하나만 외우기 때문이다. 공비가 1이 아닐 때만 분모에 공비에서 1을 뺀 값이 있는 공식을 쓸 수 있다. 공비가 1이면 모든 항이 첫째항과 같으므로 합은 첫째항에 항의 개수를 곱한 값이다.
  3. 세 수가 등비수열을 이룰 때 가운데 수를 하나로만 답한다. 제곱해서 얻은 값의 제곱근을 구할 때 양수만 택하기 때문이다. 등비수열에서는 가운데 수의 제곱이 양 끝 두 수의 곱과 같으므로, 양 끝 두 수의 곱이 양수이면 양의 제곱근과 음의 제곱근이 모두 조건을 만족해 가운데 수가 두 개 나온다. 문제에 주어진 조건으로 어느 쪽인지 가려야 한다.
  4. 등비수열의 어떤 항이 0이 될 수 있다고 본다. 수열의 값이 점점 작아지는 모습을 떠올리기 때문이다. 등비수열은 0이 아닌 첫째항에 0이 아닌 공비를 차례로 곱해 만들고 제n항은 첫째항에 공비를 n−1번 곱한 값이므로, 어떤 항도 0이 되지 않는다. 공비의 절댓값이 1보다 작으면 0에 한없이 가까워질 뿐이다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

2, 4, 8처럼 앞의 몇 항만 주어져도 다음 항은 하나로 정해진다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

수가 나열되어 있으면 규칙이 딱 하나일 것 같다고 느끼기 쉬워요. 예를 들어 2, 4, 8을 보면 '2배씩 늘어나니 다음은 16'이라고 자연스럽게 생각하게 되거든요. 실제로는 다른 관계식을 적용하면 다음 항이 14가 될 수도 있고, 전혀 다른 값이 나올 수도 있어요. 수열이 하나로 정해지려면 항들의 나열만으로는 부족하고, 규칙이나 관계식이 함께 주어져야 해요.
수열의 일반항에서 n은 항의 번호를 나타내므로 자연수만 대입할 수 있다.정답 보기

O (맞는 설명이에요)

일반항이 n에 관한 식으로 표현되면 함수처럼 보여서 어떤 수든 넣을 수 있다고 생각하기 쉬워요. 실제로는 수열에서 n은 항의 번호를 뜻하기 때문에 자연수만 허용돼요. 예를 들어 제2.5항 같은 것은 존재하지 않고, n에 관한 식을 풀어 값을 구했더라도 그 값이 자연수인지 반드시 확인해야 해요.
공차는 앞의 항에서 뒤의 항을 뺀 값이다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

뺄셈은 순서를 바꾸면 결과의 부호가 달라지기 때문에, 어느 쪽에서 어느 쪽을 빼야 하는지 헷갈리기 쉬워요. 공차는 '뒤의 항 − 앞의 항'으로 정해져 있어요. 순서를 반대로 계산하면 공차의 부호가 뒤집히고, 이후 일반항이나 합을 구하는 모든 계산 결과도 달라지게 돼요.

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