피어남

뿌리학습 · 중학 수학

다항식의 곱셈과 인수분해, 이차방정식

식을 자유롭게 바꿀 수 있으면 문제가 쉬워진다. 곱해진 식을 펼치는 것이 전개이고, 펼쳐진 식을 다시 곱의 꼴로 되돌리는 것이 인수분해다. 이 단원에서는 두 방향을 모두 익힌 뒤, 그 힘으로 이차방정식을 푼다. 두 수의 곱이 0이면 적어도 하나가 0이라는 간단한 사실에 인수분해가 더해지면, 복잡해 보이던 방정식이 곱의 꼴로 풀린다.

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개념 정리

먼저 곱셈 공식이다. 모두 분배법칙으로 전개한 결과를 정리해 둔 것이므로 외우지 못했다면 직접 전개해도 된다. (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2, (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2, (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab, (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd이다. 가장 많이 틀리는 곳은 첫 번째 공식의 2ab2ab다. (a+b)2(a+b)^2은 a2+b2a^2+b^2이 아니다.
인수분해는 전개의 반대 과정이다. 순서가 있는데, 공통인수를 묶는 일이 먼저다. 2x2−82x^2-8은 2(x2−4)2(x^2-4)로 묶은 뒤 2(x+2)(x−2)2(x+2)(x-2)까지 가야 끝난다. 그다음은 곱셈 공식을 거꾸로 읽는다. a2±2ab+b2=(a±b)2a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2, a2−b2=(a+b)(a−b)a^2-b^2=(a+b)(a-b), x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b), acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)이다. 마지막 꼴은 곱이 상수항이고 합이 xx의 계수가 되는 두 수를 찾는 일이 핵심이다. 인수분해를 마쳤으면 전개해서 처음 식이 되는지 확인하면 된다.
이제 이차방정식이다. 식을 정리했을 때 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0(a≠0a\ne0) 꼴이 되는 방정식을 이차방정식이라 한다. 가장 기본이 되는 풀이는 인수분해다. 두 수의 곱이 00이면 적어도 하나는 00이라는 성질을 이용한다. x2−5x+6=0x^2-5x+6=0은 (x−2)(x−3)=0(x-2)(x-3)=0이므로 x=2x=2 또는 x=3x=3이다. 여기서 조심할 점이 두 가지다. 이 성질은 우변이 00일 때만 쓸 수 있으므로 (x−1)(x−2)=2(x-1)(x-2)=2 같은 식은 먼저 정리해야 하고, x2=5xx^2=5x처럼 생긴 식은 양변을 xx로 나누면 x=0x=0인 근을 잃으므로 x(x−5)=0x(x-5)=0으로 바꾸어 풀어야 한다. 또 (x−3)2=0(x-3)^2=0처럼 두 근이 겹치는 경우가 있는데 이때의 근을 중근이라 하고 답은 x=3x=3 하나다.
인수분해로 풀기 어려운 식도 있다. 이때 식을 A2=BA^2=B 꼴로 만들 수 있으면 제곱근을 이용해 풀 수 있다. x2=4x^2=4의 근은 x=±2x=\pm2이고, (x−1)2=5(x-1)^2=5이면 x−1=±5x-1=\pm\sqrt{5}이므로 x=1±5x=1\pm\sqrt{5}다. 이 방법을 쓰려면 좌변이 완전제곱식이어야 하므로 식을 그 꼴로 고친다. x2+6x+4=0x^2+6x+4=0은 x2+6x+9=5x^2+6x+9=5, 곧 (x+3)2=5(x+3)^2=5로 바꾸어 x=−3±5x=-3\pm\sqrt{5}를 얻는다. 이 과정을 일반적인 계수에 대해 미리 해 둔 것이 근의 공식이다. ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0(a≠0a\ne0)의 근은 x=−b±b2−4ac2ax=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}이며, 공식을 쓰기 전에 반드시 우변이 00이 되도록 정리하고 부호까지 포함해 a, b, ca,\ b,\ c를 읽어야 한다. 중학교에서는 제곱하여 음수가 되는 수를 다루지 않으므로 근호 안의 수가 음수가 되는 경우는 생각하지 않는다.
이차방정식은 실생활 문제를 푸는 데도 쓰인다. 가로가 세로보다 33만큼 긴 직사각형의 넓이가 4040이라면, 세로를 xx로 놓아 x(x+3)=40x(x+3)=40, 곧 x2+3x−40=0x^2+3x-40=0이 되고 (x+8)(x−5)=0(x+8)(x-5)=0이므로 x=−8x=-8 또는 x=5x=5다. 그런데 xx는 길이이므로 음수가 될 수 없다. 답은 x=5x=5 하나다. 방정식을 푼 뒤에는 처음에 정한 문자가 무엇을 뜻했는지로 돌아가 답이 상황에 맞는지 확인해야 한다.
여기서 익힌 것은 다음 단원으로 곧장 이어진다. 이차함수의 그래프가 xx축과 만나는 점의 좌표는 y=0y=0으로 놓고 이차방정식을 푼 결과이고, 일반형을 꼭짓점이 보이는 꼴로 고치는 일도 완전제곱식을 만드는 과정과 같다. 고등학교에서는 근호 안이 음수인 경우까지 수를 넓혀 근을 판별하고, 근과 계수의 관계를 다룬다.

이 단원 시험에서 묻는 것

학교 시험은 교육과정 성취기준을 바탕으로 출제됩니다. 이 단원의 성취기준은 다음을 할 수 있는지 확인하도록 정하고 있습니다.

  • [9수02-20]이차방정식을 풀 수 있고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.

자주 하는 착각

곱셈 공식

  1. (a+b)²을 a²+b²으로 계산한다. 괄호 안의 각 항에 지수를 나누어 주면 된다고 생각하기 때문이다. (a+b)²은 (a+b)(a+b)를 전개한 것이므로 a²+2ab+b²이고 가운데 2ab가 반드시 남는다. 수로 확인하면 (3+4)²은 49인데 3²+4²은 25로 서로 다르다.
  2. 곱셈 공식을 외운 대로만 쓰고 전개해 확인하지 않는다. 공식을 결과를 빨리 얻는 도구로만 여기기 때문이다. 모든 곱셈 공식은 분배법칙으로 하나하나 전개한 결과를 정리해 둔 것이다. 공식이 기억나지 않으면 직접 전개해도 되고, 전개해 보면 자신의 답이 맞는지 확인할 수 있다.

인수분해

  1. 인수분해를 공식 암기로만 접근해 모든 항에 공통으로 들어 있는 인수를 찾지 않는다. 공식에 맞는 꼴인지부터 살피기 때문이다. 인수분해를 할 때는 먼저 공통인수가 있는지 확인하고, 있으면 묶어낸 뒤 남은 식을 다시 인수분해할 수 있는지 본다. 2x²−8은 2(x²−4)로 묶은 뒤 2(x+2)(x−2)까지 가야 끝나고, x²−4처럼 공통인수가 없는 식은 곧바로 공식을 적용한다.
  2. x²−4를 더 이상 인수분해할 수 없다고 하거나 (x−2)²으로 쓴다. 상수항이 음수여서 곱셈 공식과 짝지어지지 않는다고 느끼기 때문이다. 제곱의 차는 a²−b²=(a+b)(a−b)로 인수분해된다. 따라서 x²−4=(x+2)(x−2)이며, (x−2)²은 전개하면 x²−4x+4로 다른 식이다.
  3. x²+(합)x+(곱) 꼴에서 두 수의 합과 곱을 뒤바꿔 찾거나 부호를 놓친다. 두 수를 찾는 과정을 시행착오로만 하기 때문이다. 곱이 상수항이고 합이 x의 계수다. x²−5x+6은 곱이 6, 합이 −5이므로 −2와 −3을 찾아 (x−2)(x−3)이 되고, x²+x−6은 곱이 −6, 합이 1이므로 3과 −2를 찾아 (x+3)(x−2)가 된다.
  4. −x²+4x−4처럼 x²의 계수가 음수인 식에 공식을 그대로 적용하려다 부호를 놓친다. 완전제곱식 공식의 모양에만 맞추려 하기 때문이다. x²의 계수가 음수이면 먼저 −1을 묶어 −(x²−4x+4)로 만든 뒤 공식을 적용해 −(x−2)²으로 인수분해한다. 인수분해를 마쳤으면 전개해 처음 식이 되는지 확인하면 스스로 채점할 수 있다.

이차방정식의 풀이

  1. x²=5x에서 양변을 x로 나누어 x=5만 답한다. 등식의 양변을 같은 수로 나누어도 된다는 규칙을 문자에도 그대로 쓰기 때문이다. x로 나눌 수 있는 것은 x가 0이 아닐 때뿐이라 x=0이라는 근이 사라진다. 한쪽으로 모아 x²−5x=0, x(x−5)=0으로 인수분해하면 근은 0과 5다.
  2. (x−1)(x−2)=2에서 x−1=2 또는 x−2=2로 풀어 버린다. 인수분해된 모양만 보고 각 인수를 우변과 짝지으려 하기 때문이다. 곱이 0이면 적어도 하나가 0이라는 성질은 우변이 0일 때만 쓸 수 있다. 전개해 x²−3x+2=2, 곧 x²−3x=0으로 정리한 뒤 풀면 근은 0과 3이다.
  3. x²=4를 풀면서 x=2만 답하거나, (x−3)²=0에서 근이 두 개라고 한다. 제곱근을 이용한 풀이에서 음수 쪽을 빠뜨리거나, 이차방정식이면 근이 늘 두 개라고 외웠기 때문이다. x²=4의 근은 2와 −2이고, (x−3)²=0처럼 같은 근이 겹칠 때는 중근이라 하며 근은 3 하나다.

이차방정식의 활용

  1. 활용 문제에서 구한 두 근을 모두 답으로 쓴다. 방정식을 풀면 계산이 끝났다고 보기 때문이다. 길이나 개수, 사람 수처럼 음수가 될 수 없는 양을 구했다면 문제 상황에 맞지 않는 근은 버려야 한다. 식을 세울 때 정한 문자가 무엇을 뜻했는지로 돌아가 확인한다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

(a+b)²을 전개하면 a²+b²이다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

(a+b)²처럼 괄호 전체에 지수가 붙으면 괄호 안의 각 항에 지수를 따로 나누어 주면 된다고 생각하기 쉬워요. 실제로는 (a+b)²은 (a+b)×(a+b)를 직접 전개한 것이므로, 가운데 항 2ab가 반드시 생겨서 a²+2ab+b²이 돼요. 수로 확인해 보면 (3+4)²=49이지만 3²+4²=25로 서로 다르기 때문에, 2ab를 빠뜨리지 않도록 주의하는 것이 중요해요.
곱셈 공식은 분배법칙으로 하나하나 전개한 결과를 정리해 둔 것이므로, 공식이 기억나지 않을 때는 직접 전개하여 같은 결과를 얻을 수 있다.정답 보기

O (맞는 설명이에요)

공식을 쓰면 답이 바로 나오다 보니, 굳이 전개해서 확인하는 단계를 건너뛰기 쉬워요. 하지만 곱셈 공식은 분배법칙을 적용해 전개한 결과를 보기 좋게 정리해 둔 것일 뿐이에요. 실제로는 공식이 떠오르지 않아도 직접 전개하면 같은 결과를 얻을 수 있고, 전개 과정을 통해 자신의 풀이가 맞는지도 확인할 수 있어요.
인수분해를 할 때는 공통인수를 찾기 전에 먼저 공식에 맞는 꼴인지부터 확인하면 된다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

공식을 여러 번 연습하다 보면 식을 보자마자 공식부터 떠올리기 쉬워요. 그런데 공통인수를 먼저 묶지 않으면 2x²−8을 2(x+2)(x−2)까지 완전히 인수분해하지 못하고 중간에 멈출 수 있어요. 실제로는 공통인수를 먼저 묶어낸 뒤, 남은 식에 공식을 적용하는 순서로 진행해야 인수분해가 끝까지 완성돼요.

나머지 OX 문제와 4지선다 문제는 앱에서 풀어볼 수 있어요.

자주 묻는 질문

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