집합

이 단원 시험에서 묻는 것

• 집합과 원소. 대상이 분명하게 정해지는 모임이 집합이므로 "큰 수의 모임"은 집합이 아닙니다. 원소는 ∈, ∉로 나타내고, 집합은 원소나열법·조건제시법·벤 다이어그램으로 표현합니다.
• 원소와 부분집합의 구별. 1이 집합 A의 원소이면 1 ∈ A이고, 1만으로 이루어진 집합 {1}은 A의 부분집합이라 {1} ⊂ A로 씁니다. 공집합과 자기 자신은 모든 집합의 부분집합입니다.
• 부분집합과 서로 같은 집합. 두 집합이 서로의 부분집합이면 두 집합은 서로 같습니다. 원소가 n개인 집합의 부분집합의 개수는 2ⁿ개이며, 특정 원소를 반드시 포함하거나 포함하지 않는 부분집합의 개수를 구하는 문제가 나옵니다.
• 집합의 연산. 합집합(A ∪ B), 교집합(A ∩ B), 차집합(A − B), 여집합(Aᶜ)을 구하고 벤 다이어그램으로 나타냅니다. 여집합은 전체집합 U에서 A에 속하지 않는 원소의 집합이므로 전체집합이 정해져야 구할 수 있고, 교집합이 공집합인 두 집합은 서로소입니다.
• 연산의 성질. 합집합과 교집합에는 교환법칙·결합법칙·분배법칙이 성립하고, 같은 전체집합에서 (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ, (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ입니다(드모르간의 법칙). 이런 성질은 벤 다이어그램으로 확인합니다.
• 원소의 개수. 유한집합 A, B에 대하여 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)로, 교집합의 원소를 두 번 세지 않도록 한 번 뺍니다. 두 동아리에 가입한 학생 수처럼 실생활 상황에 적용하는 문제가 나옵니다.

자주 하는 착각

1. 원소와 부분집합을 구별하지 못해, 1이 집합 A의 원소일 때 1만으로 이루어진 집합도 A의 원소라고 쓴다. 둘 다 '들어 있다'는 말로 표현되기 때문이다. 원소는 집합을 이루는 하나하나의 대상이고, 부분집합은 원소들을 모은 집합이다. 1은 A의 원소이고, 1만으로 이루어진 집합은 A의 부분집합이다.
2. 공집합은 원소가 없으므로 어떤 집합의 부분집합도 아니라고 본다. 부분집합이 원소를 나눠 가진 것이라고만 생각하기 때문이다. 공집합은 모든 집합의 부분집합이며, 부분집합의 개수를 셀 때도 포함해야 한다.
3. 합집합의 여집합을 각 여집합의 합집합으로 바꾼다. 여집합 기호를 괄호 안에 그대로 나눠 주기 때문이다. 합집합의 여집합은 각 여집합의 교집합이고, 교집합의 여집합은 각 여집합의 합집합이다(드모르간의 법칙). 벤 다이어그램으로 확인하면 분명해진다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

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