피어남

뿌리학습 · 고등 수학

집합과 명제

이 단원에서는 수학의 대상을 모아 나타내는 집합과, 참과 거짓을 판단하는 명제를 배운다. 집합으로는 대상들 사이의 포함 관계와 연산을 정확하게 다루고, 명제로는 조건과 결론의 관계를 따져 수학적으로 옳은 주장을 세우는 방법을 익힌다. 두 내용은 진리집합으로 이어져서, 명제를 집합의 포함 관계로 바꿔 판단할 수 있게 된다.

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개념 정리

집합은 기준이 분명해서 대상을 정할 수 있는 모임이다. 집합을 이루는 대상 하나하나를 원소라 하고, aa가 집합 AA의 원소이면 a∈Aa\in A로 나타낸다. 집합 AA의 모든 원소가 집합 BB의 원소이면 AA는 BB의 부분집합이고 A⊂BA\subset B로 나타낸다. 원소가 하나도 없는 집합을 공집합이라 하며, 공집합은 모든 집합의 부분집합이다. 원소가 nn개인 집합의 부분집합은 공집합과 자기 자신을 포함해 모두 2n2^n개다.
두 집합으로 새 집합을 만드는 연산에는 합집합 A∪BA\cup B, 교집합 A∩BA\cap B, 차집합 A−BA-B, 여집합 ACA^C가 있고, 벤 다이어그램으로 나타내면 관계가 한눈에 보인다. 여집합은 주어진 전체집합을 기준으로 정한다. 원소가 유한개인 두 집합의 원소의 개수에 대해서는 n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)가 성립한다. 교집합을 빼는 것은 두 번 센 원소를 한 번 덜어 내기 위해서다. 또 드모르간의 법칙에 따라 (A∪B)C=AC∩BC(A\cup B)^C=A^C\cap B^C, (A∩B)C=AC∪BC(A\cap B)^C=A^C\cup B^C이다.
참인지 거짓인지 분명하게 판별할 수 있는 문장이나 식을 명제라 하고, 변수의 값에 따라 참, 거짓이 달라지는 문장이나 식을 조건이라 한다. 전체집합에서 조건 pp를 참이 되게 하는 원소의 집합을 pp의 진리집합이라 한다. 'pp이고 qq'의 진리집합은 두 진리집합의 교집합, 'pp 또는 qq'의 진리집합은 합집합이다. '모든 xx에 대하여 pp이다'의 부정은 '어떤 xx에 대하여 pp가 아니다'이다.
명제 'pp이면 qq이다'에서 가정과 결론을 바꾼 'qq이면 pp이다'를 역이라 하고, 가정과 결론을 각각 부정하여 순서를 바꾼 'qq가 아니면 pp가 아니다'를 대우라 한다. 원래 명제와 대우는 참, 거짓이 항상 같지만 역은 그렇지 않다. 'pp이면 qq이다'가 참일 때 pp는 qq이기 위한 충분조건, qq는 pp이기 위한 필요조건이라 한다. 진리집합으로 보면 P⊂QP\subset Q일 때 pp가 qq이기 위한 충분조건이다.
명제를 증명할 때 직접 보이기 어려우면 대우를 증명하거나 귀류법을 쓴다. 대우가 참이면 원래 명제도 참이다. 귀류법은 주어진 가정은 그대로 두고 결론을 부정했다고 가정한 뒤 모순을 이끌어 내어, 결론이 참일 수밖에 없음을 보이는 방법이다.
문자에 어떤 실수를 넣어도 항상 성립하는 부등식을 절대부등식이라 한다. 절대부등식은 실수의 제곱이 00 이상이라는 사실로 증명하는 경우가 많다. 예를 들어 a2+b2−2ab=(a−b)2≥0a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\ge0이므로 a2+b2≥2aba^2+b^2\ge2ab이고, 등호는 a=ba=b일 때 성립한다. 같은 방법으로 x>0x>0일 때 x+9x−6=(x−3x)2≥0x+\frac{9}{x}-6=\left(\sqrt{x}-\frac{3}{\sqrt{x}}\right)^2\ge0이므로 x+9x≥6x+\frac{9}{x}\ge6이고, 등호는 x=3x=3일 때 성립하므로 최솟값은 66이다. 최솟값은 등호가 성립하는 xx의 값이 아니라 그때 식의 값이라는 점에 주의한다.

이 단원 시험에서 묻는 것

학교 시험은 교육과정 성취기준을 바탕으로 출제됩니다. 이 단원의 성취기준은 다음을 할 수 있는지 확인하도록 정하고 있습니다.

  • [10공수2-02-01]집합의 개념을 이해하고, 집합을 표현할 수 있다.
  • [10공수2-02-02]두 집합 사이의 포함관계를 판단할 수 있다.
  • [10공수2-02-03]집합의 연산을 수행하고, 벤 다이어그램을 이용하여 나타낼 수 있다.
  • [10공수2-02-04]명제와 조건의 뜻을 알고, '모든', '어떤'을 포함한 명제를 이해하고 설명할 수 있다.
  • [10공수2-02-05]명제의 역과 대우를 이해하고 설명할 수 있다.
  • [10공수2-02-06]충분조건과 필요조건을 이해하고 판단할 수 있다.
  • [10공수2-02-07]대우를 이용한 증명법과 귀류법을 이해하고 관련된 명제를 증명할 수 있다.
  • [10공수2-02-08]절대부등식의 뜻을 알고, 간단한 절대부등식을 증명할 수 있다.

자주 하는 착각

집합

  1. 원소와 부분집합을 구별하지 못해, 1이 집합 A의 원소일 때 1만으로 이루어진 집합도 A의 원소라고 쓴다. 둘 다 '들어 있다'는 말로 표현되기 때문이다. 원소는 집합을 이루는 하나하나의 대상이고, 부분집합은 원소들을 모은 집합이다. 1은 A의 원소이고, 1만으로 이루어진 집합은 A의 부분집합이다.
  2. 공집합은 원소가 없으므로 어떤 집합의 부분집합도 아니라고 본다. 부분집합이 원소를 나눠 가진 것이라고만 생각하기 때문이다. 공집합은 모든 집합의 부분집합이며, 부분집합의 개수를 셀 때도 포함해야 한다.
  3. 두 집합의 합집합의 원소의 개수를 각 집합의 원소의 개수의 합으로 구한다. 겹치는 부분을 두 번 세는 것을 놓치기 때문이다. 교집합의 원소는 두 번 세어졌으므로 한 번 빼야 한다.
  4. 합집합의 여집합을 각 여집합의 합집합으로 바꾼다. 여집합 기호를 괄호 안에 그대로 나눠 주기 때문이다. 합집합의 여집합은 각 여집합의 교집합이고, 교집합의 여집합은 각 여집합의 합집합이다(드모르간의 법칙). 벤 다이어그램으로 확인하면 분명해진다.

명제와 조건

  1. 조건 'p이고 q'의 진리집합을 두 진리집합의 합집합으로 구한다. '이고'와 '또는'을 집합 연산과 짝짓지 못하기 때문이다. '이고'는 두 조건을 모두 만족하는 것이므로 교집합, '또는'은 합집합이다.
  2. '모든 x에 대하여 p이다'의 부정을 '모든 x에 대하여 p가 아니다'로 쓴다. '모든'은 그대로 두고 뒤만 부정하기 때문이다. 바른 부정은 '어떤 x에 대하여 p가 아니다'이다.
  3. 명제의 역이 참이면 원래 명제도 참이라고 본다. 역과 대우를 같은 것으로 생각하기 때문이다. 원래 명제와 참, 거짓이 항상 같은 것은 대우뿐이다. 역은 참, 거짓이 다를 수 있다.
  4. p가 q이기 위한 충분조건인지 필요조건인지 방향을 뒤바꾼다. '충분'과 '필요'라는 말의 뜻에 끌리기 때문이다. p이면 q가 참일 때 p는 q이기 위한 충분조건, q는 p이기 위한 필요조건이다. 진리집합으로는 P가 Q에 포함될 때 p가 충분조건이다.

증명과 절대부등식

  1. 귀류법으로 증명할 때 결론이 아니라 가정을 부정한다. 무엇을 부정해야 하는지 헷갈리기 때문이다. 귀류법은 주어진 가정은 그대로 두고 결론이 거짓이라고 가정했을 때 모순이 생김을 보여, 결론이 참임을 증명하는 방법이다.
  2. 절대부등식에서 등호가 성립하는 x의 값을 최솟값으로 답하거나, 등호가 실제로 성립하는지 확인하지 않는다. 식의 형태만 보고 결론을 내리기 때문이다. 최솟값은 등호가 성립할 때의 식의 값이며, 그 x가 주어진 범위 안에 있는지 확인해야 한다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

1이 집합 A의 원소일 때, {1}도 집합 A의 원소이다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

원소와 부분집합 모두 '들어 있다'는 표현을 쓰다 보니, 1과 {1}을 같은 방식으로 A에 속한다고 생각하기 쉬워요. 실제로는 1은 집합을 이루는 하나의 대상으로 A의 원소이고, {1}은 원소 1을 모아 만든 집합으로 A의 부분집합이에요. 원소와 부분집합은 서로 다른 개념이므로 ∈과 ⊂를 구별해서 사용해야 해요.
공집합은 원소가 없지만 모든 집합의 부분집합이며, 부분집합의 개수를 셀 때도 반드시 포함해야 한다.정답 보기

O (맞는 설명이에요)

부분집합을 '원소를 나눠 가진 것'으로만 이해하면, 원소가 하나도 없는 공집합은 부분집합이 될 수 없다고 느끼기 쉬워요. 실제로는 부분집합의 정의가 '한 집합의 모든 원소가 다른 집합에도 속하는 경우'이기 때문에, 원소가 아예 없는 공집합은 이 조건을 어기는 원소 자체가 존재하지 않아 어떤 집합에 대해서도 부분집합이 돼요. 그래서 집합 A의 부분집합의 개수를 구할 때도 공집합을 빠뜨리지 않고 포함해야 해요.
두 집합의 합집합의 원소의 개수는 각 집합의 원소의 개수를 단순히 더한 값과 같다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

두 집합을 합칠 때 원소의 개수를 그냥 더하면 될 것 같다고 생각하기 쉬워요. 그런데 두 집합에 동시에 속하는 원소, 즉 교집합의 원소는 각 집합에서 한 번씩 총 두 번 세어지게 돼요. 실제로는 이렇게 두 번 세어진 교집합의 원소의 개수를 한 번 빼주어야 합집합의 원소의 개수를 올바르게 구할 수 있어요.

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