명제와 조건

이 단원 시험에서 묻는 것

• 명제와 조건. 참인지 거짓인지 분명하게 판별할 수 있는 문장이나 식이 명제이고, 변수의 값에 따라 참, 거짓이 정해지는 문장이나 식이 조건입니다. 전체집합을 정했을 때 그 원소 가운데 조건을 참이 되게 하는 것의 집합이 그 조건의 진리집합입니다.
• 진리집합과 연산. 조건 p, q의 진리집합을 P, Q라 하면 "p이고 q"의 진리집합은 P ∩ Q, "p 또는 q"의 진리집합은 P ∪ Q, "p가 아니다"의 진리집합은 Pᶜ입니다. "이고"는 두 조건을 모두 만족해야 하므로 합집합이 아니라 교집합입니다.
• "모든"과 "어떤"이 들어간 명제. 전체집합이 정해진 상태에서 "모든 x에 대하여 p"는 진리집합이 전체집합일 때 참이고, "어떤 x에 대하여 p"는 p를 만족하는 원소가 적어도 하나 있을 때, 즉 진리집합이 공집합이 아닐 때 참입니다. "모든 x에 대하여 p"의 부정은 "어떤 x에 대하여 p가 아니다"이고, "어떤 x에 대하여 p"의 부정은 "모든 x에 대하여 p가 아니다"입니다.
• 명제의 참과 거짓. 조건 p, q의 진리집합이 P ⊂ Q이면 명제 "p이면 q"는 참입니다. 거짓임을 보일 때는 p는 만족하지만 q는 만족하지 않는 예, 즉 반례를 하나 찾으면 됩니다.
• 역과 대우. "p이면 q"의 역은 "q이면 p", 대우는 "q가 아니면 p가 아니다"입니다. 원래 명제와 대우는 참, 거짓이 항상 같지만 역은 다를 수 있으므로, 명제가 참이라고 해서 역도 참이라고 판단하지 않습니다.
• 충분조건과 필요조건. "p이면 q"가 참일 때 p는 q이기 위한 충분조건, q는 p이기 위한 필요조건이고, 진리집합으로는 P ⊂ Q입니다. P = Q이면 p는 q이기 위한 필요충분조건이며, 충분조건이나 필요조건이 되도록 하는 상수의 범위를 구하는 문제가 나옵니다.

자주 하는 착각

1. 조건 'p이고 q'의 진리집합을 두 진리집합의 합집합으로 구한다. '이고'와 '또는'을 집합 연산과 짝짓지 못하기 때문이다. '이고'는 두 조건을 모두 만족하는 것이므로 교집합, '또는'은 합집합이다.
2. '모든 x에 대하여 p이다'의 부정을 '모든 x에 대하여 p가 아니다'로 쓴다. '모든'은 그대로 두고 뒤만 부정하기 때문이다. 바른 부정은 '어떤 x에 대하여 p가 아니다'이다.
3. p가 q이기 위한 충분조건인지 필요조건인지 방향을 뒤바꾼다. '충분'과 '필요'라는 말의 뜻에 끌리기 때문이다. p이면 q가 참일 때 p는 q이기 위한 충분조건, q는 p이기 위한 필요조건이다. 진리집합으로는 P가 Q에 포함될 때 p가 충분조건이다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

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