증명법과 절대부등식

이 단원 시험에서 묻는 것

• 정의, 증명, 정리. 용어의 뜻을 분명하게 정한 문장이 정의이고, 이미 참으로 밝혀진 사실을 근거로 어떤 명제가 참임을 보이는 과정이 증명입니다. 참임이 증명된 명제 가운데 기본이 되거나 다른 명제를 증명할 때 이용할 수 있는 것을 정리라고 합니다.
• 대우를 이용한 증명법. 명제와 그 대우는 참, 거짓이 같으므로, "p이면 q"를 바로 보이기 어려우면 대우 "q가 아니면 p가 아니다"가 참임을 증명합니다. 예를 들어 "자연수 n에 대하여 n²이 짝수이면 n은 짝수이다"는 대우 "n이 홀수이면 n²은 홀수이다"가 참임을 보여 증명합니다.
• 귀류법. 주어진 가정은 그대로 두고 결론을 부정한 뒤, 그로부터 모순이 생김을 보여 결론이 참임을 증명합니다. "√2는 유리수가 아니다"를 증명할 때 √2 = m/n(m, n은 서로소인 자연수)이라고 가정하면 m과 n이 모두 짝수가 되어 서로소라는 데 모순입니다.
• 절대부등식. 문자가 나타내는 범위의 모든 실수에 대하여 항상 성립하는 부등식이 절대부등식이고, x² + 1 > 0이나 a² + b² ≥ 2ab가 그 예입니다. 증명할 때는 주로 (좌변) − (우변) ≥ 0임을 보이며, a² + b² − 2ab = (a − b)² ≥ 0처럼 완전제곱식을 이용하고 등호가 성립하는 조건도 함께 밝힙니다.
• 산술평균과 기하평균의 관계. a > 0, b > 0일 때 (a + b)/2 ≥ √(ab)이고, 등호는 a = b일 때 성립합니다. a와 b가 양수라는 조건이 없으면 이 부등식을 쓸 수 없습니다.
• 최솟값 구하기. x > 0일 때 x + 1/x ≥ 2√(x × 1/x) = 2이므로 x + 1/x의 최솟값은 2이고, 등호는 x = 1일 때 성립합니다. 최솟값은 등호가 성립하는 x의 값 1이 아니라 그때의 식의 값 2이며, 등호가 성립하는 x가 주어진 범위 안에 있는지도 확인합니다.

자주 하는 착각

1. 명제의 역이 참이면 원래 명제도 참이라고 본다. 역과 대우를 같은 것으로 생각하기 때문이다. 원래 명제와 참, 거짓이 항상 같은 것은 대우뿐이다. 역은 참, 거짓이 다를 수 있다.
2. 귀류법으로 증명할 때 결론이 아니라 가정을 부정한다. 무엇을 부정해야 하는지 헷갈리기 때문이다. 귀류법은 주어진 가정은 그대로 두고 결론이 거짓이라고 가정했을 때 모순이 생김을 보여, 결론이 참임을 증명하는 방법이다.
3. 절대부등식에서 등호가 성립하는 x의 값을 최솟값으로 답하거나, 등호가 실제로 성립하는지 확인하지 않는다. 식의 형태만 보고 결론을 내리기 때문이다. 최솟값은 등호가 성립할 때의 식의 값이며, 그 x가 주어진 범위 안에 있는지 확인해야 한다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

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