뿌리학습 · 중학 과학탐구
물체의 운동과 그래프 해석
운동을 나타낸 그래프를 만나면 세로축부터 읽어야 한다. 가로축이 시간인 것은 같은데, 세로축이 무엇이냐에 따라 완전히 다른 그래프가 되기 때문이다. 세로축이 이동 거리인 그래프가 있고, 세로축이 속력인 그래프가 있다. 이 둘을 구분하지 않고 읽으면 같은 모양의 선을 정반대로 해석하게 된다.
이 단원, 내가 꺼낼 수 있는지 확인해 볼까요?
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개념 정리
시간-이동 거리 그래프에서 선이 기울어져 올라간다는 것은 시간이 지날수록 이동한 거리가 늘어난다는 뜻이다. 물체가 움직이고 있으면 거리는 어차피 계속 늘어나므로, 이 그래프에서 선은 움직이는 내내 올라간다. 기울기가 가파를수록 같은 시간에 더 멀리 갔다는 뜻이니, 여기서는 기울기가 속력이다.
시간-속력 그래프는 다르다. 세로축의 값 자체가 속력이다. 선이 어느 높이에 있으면 그 순간의 속력이 그만큼이라는 뜻이고, 선이 기울어져 올라간다는 것은 속력이 점점 커지고 있다는 뜻이다. 속력이 변하지 않으면 이 그래프의 선은 올라가지 않고 가로축과 나란한 수평선이 된다.
같은 운동을 두 그래프로 그려 보면 차이가 분명해진다. 일정한 속력으로 달리는 물체를 시간-이동 거리 그래프로 그리면 비스듬히 올라가는 직선이 되고, 시간-속력 그래프로 그리면 높이가 일정한 수평선이 된다. 하나는 올라가고 하나는 평평하다. 같은 운동인데 그래프의 모양이 반대로 보이는 셈이다.
여기서 가장 많이 어긋난다. 시간-속력 그래프인데도 일정한 속력으로 가는 운동을 비스듬히 올라가는 선으로 그리는 경우다. 두 물체의 속력 차이를 기울기 차이로 나타내기도 한다. 시간-이동 거리 그래프의 기억이 그대로 옮겨 온 것이다. 그래프를 보자마자 세로축에 무엇이라고 쓰여 있는지 확인하는 습관을 들이면 이 실수는 사라진다.
문제에 따라서는 세로축에 속력 대신 속도라고 쓰여 있기도 하다. 두 말은 같은 뜻이 아니다. 속력은 얼마나 빠른지만 나타내고, 속도는 빠르기와 함께 운동의 방향까지 나타낸다. 이 원고에서 다루는 것은 방향을 따지지 않는 속력이다. 세로축에 속도라고 쓰여 있다면 속력과 같은 뜻으로 단정하지 말고, 그 값이 무엇을 나타내는지 확인하고 넘어간다.
속력이 일정하게 커지는 운동은 시간-속력 그래프에서 비스듬히 올라가는 곧은 직선이 된다. 같은 시간 동안 같은 양만큼 속력이 늘어나므로 선의 기울기도 일정하다. 이때 선은 중간에 꺾이거나 계단처럼 그려지지 않는다. 속력이 늘어나는 정도가 도중에 바뀌지 않았다면 선은 처음부터 끝까지 같은 기울기로 곧게 올라간다.
말로 설명할 때도 주의할 점이 하나 있다. 빠르다는 말이 두 가지로 쓰인다. 지금 속력 자체가 크다는 뜻으로도 쓰이고, 속력이 빠르게 늘어난다는 뜻으로도 쓰인다. 일상에서는 구분 없이 쓰지만 그래프를 설명할 때는 나뉜다. 선이 높은 곳에 있으면 속력이 큰 것이고, 선이 가파르면 속력이 빨리 늘어나는 것이다. 두 물체를 비교할 때 어느 쪽 이야기인지 정해 놓고 말해야 한다.
시간-속력 그래프에서는 선 아래의 넓이가 이동 거리를 알려 준다. 세로축이 속력이고 가로축이 시간이니, 둘을 곱한 값이 거리가 되기 때문이다. 속력이 일정한 구간이라면 수평선 아래가 직사각형이 되므로 속력에 시간을 곱하면 되고, 속력이 일정하게 늘어나는 구간이라면 삼각형이 되므로 밑변과 높이를 곱해 반으로 나눈다. 다만 이 계산은 세로축이 속력일 때만 쓸 수 있다. 시간-이동 거리 그래프에서 선 아래 넓이를 구하는 것은 아무 뜻이 없다. 그래서 넓이를 구하기 전에 세로축부터 확인해야 한다.
이제 자유 낙하로 넘어간다. 자유 낙하는 중력의 영향을 받아 떨어지는 운동이며, 이 원고에서는 가만히 있던 물체를 손에서 놓아 떨어뜨리는 경우를 중심으로 본다.
공기의 저항을 무시할 수 있다면, 떨어지는 물체는 종류나 질량과 상관없이 똑같이 떨어진다. 공기 저항을 무시할 수 있고 같은 높이에서 동시에 놓는다면, 쇠구슬과 나무 구슬은 질량과 관계없이 바닥에 함께 닿는다.
이 말이 선뜻 받아들여지지 않는 것이 자연스럽다. 이 질문에 무거운 것이 먼저 떨어진다고 답하는 학생이 다섯 중 셋이 넘고, 동시에 떨어진다고 답하는 학생은 다섯 중 하나에 그친다. 공기 저항이 없다는 조건을 문제에 써 놓아도 그렇다. 일상에서 종이와 돌을 같이 떨어뜨려 본 경험이 워낙 강하기 때문이다.
그 경험이 틀린 것은 아니다. 종이는 실제로 늦게 떨어진다. 다만 그것은 가벼워서가 아니라 종이가 공기 저항의 영향을 크게 받기 때문이다. 같은 종이를 구겨서 뭉치면 무게는 그대로인데 훨씬 빨리 떨어진다. 무게를 하나도 바꾸지 않고 모양만 바꿨는데 떨어지는 모습이 달라졌다면, 차이를 만든 것은 무게가 아니라 공기다.
그러니 무겁다와 빨리 떨어진다를 붙여 읽지 않는 것이 이 부분의 핵심이다. 무게가 떨어지는 빠르기를 정한다는 생각은 공기가 만든 차이를 무게가 만든 차이로 잘못 읽은 데서 온다. 공기의 방해를 걷어내면 모든 물체에 똑같이 적용되는 하나의 규칙만 남는다.
그 규칙은 이렇다. 자유 낙하하는 물체의 속력은 시간이 지날수록 일정하게 커진다. 1초가 지날 때마다 속력이 9.8m/s씩 늘어난다. 가만히 있다가 떨어지기 시작한 물체라면 1초 뒤에 9.8m/s, 2초 뒤에 19.6m/s, 3초 뒤에 29.4m/s가 된다.
이 9.8이라는 값은 물체가 무엇이든 같다. 쇠구슬이든 나무 구슬이든 1초마다 9.8m/s씩 늘어난다. 그래서 두 물체의 시간-속력 그래프를 함께 그리면 두 선이 정확히 겹친다. 늘어나는 양이 매초 같으므로 이 그래프는 원점에서 출발해 곧게 올라가는 직선이 된다.
[심화] 속력이 늘어나는 구간과 일정한 구간이 섞여 있는 그래프도 있다. 처음 얼마 동안은 속력이 일정하게 늘어나다가, 그 뒤로는 늘어난 속력을 그대로 유지하며 달리는 경우다. 이런 그래프에서 전체 이동 거리를 구할 때는 구간을 나눠 넓이를 각각 구한 뒤 더한다. 속력이 늘어나는 구간은 삼각형, 속력이 일정한 구간은 직사각형이 된다. 두 구간을 한꺼번에 사다리꼴로 보고 구해도 결과는 같다. 어느 쪽으로 풀든 세로축이 속력인지 먼저 확인하는 순서는 바뀌지 않는다.
이 단원 시험에서 묻는 것
학교 시험은 교육과정 성취기준을 바탕으로 출제됩니다. 이 단원의 성취기준은 다음을 할 수 있는지 확인하도록 정하고 있습니다.
- [9과19-02]자유 낙하하는 물체의 운동에서 시간에 따른 속력의 변화가 일정함을 분석할 수 있다.
자주 하는 착각
그래프의 세로축을 확인하지 않음
- 시간-속력 그래프인데 일정한 속력으로 가는 운동을 비스듬히 올라가는 선으로 그린다. 두 물체의 속력 차이를 기울기 차이로 나타내기도 한다. 앞서 배운 시간-이동 거리 그래프에서는 기울기가 속력이었기 때문에 그 기억이 그대로 옮겨 온다. 말로 준 등속 운동을 그래프로 옮기게 했을 때 넷 중 하나 가까이가 이렇게 그렸다. 시간-속력 그래프에서는 세로축의 높이가 속력이고, 속력이 변하지 않으면 선은 수평이 된다. 기울기는 속력이 아니라 속력이 변하는 정도를 나타낸다.
- 시간-속력 그래프의 선 아래 넓이를 구하는 방법을 시간-이동 거리 그래프에도 쓴다. 넓이로 거리를 구한다고 외웠기 때문이다. 넓이가 거리가 되는 것은 세로축이 속력이고 가로축이 시간이어서 둘을 곱한 값이 거리가 되기 때문이다. 세로축이 이미 거리인 그래프에서는 넓이를 구해도 아무 뜻이 없다.
그래프로 옮기는 단계에서 무너짐
- 말이나 그림으로는 설명하는데 그래프로 옮기면 틀린다. 두 표현을 따로 익혀 서로 연결하지 못하기 때문이다. 같은 운동을 말로 설명하게 했을 때는 열에 아홉 가까이가 맞히지만, 그래프로 옮기게 하면 여섯에서 여덟 사이로 떨어지고, 그림과 그래프를 서로 바꾸는 과제에서는 절반 남짓까지 내려간다. 맞힌 문항이라도 표현을 바꿔 한 번 더 물어야 이해했는지 알 수 있다.
- 속력이 일정하게 늘어나는 운동의 그래프를 곧은 직선으로 그리지 못하고 중간에서 꺾거나 계단처럼 그린다. 속력이 늘어나는 모습을 어떤 전환이 일어난 것으로 읽기 때문이다. 그림으로 준 운동을 그래프로 옮기게 했을 때 셋 중 하나가 넘게 이렇게 그렸다. 속력이 늘어나는 정도가 도중에 바뀌지 않았다면 선은 처음부터 끝까지 같은 기울기로 곧게 올라간다.
빠르다는 말의 두 가지 쓰임
- 속력이 늘어나는 정도를 비교해야 하는 자리에서 그냥 빠르다고 답한다. 일상어에 속력이 늘어나는 정도를 가리키는 말이 따로 없기 때문이다. 그래프로 준 두 운동을 말로 설명하게 했을 때 셋 중 둘이 빠르다는 말로 답했고, 두 운동의 차이를 제대로 구분해 말한 학생은 서른 명 남짓 중 한 명뿐이었다. 선이 높은 곳에 있으면 속력이 큰 것이고 선이 가파르면 속력이 빨리 늘어나는 것이다. 어느 쪽 이야기인지 정해 놓고 말해야 한다.
자유 낙하
- 무거운 물체가 먼저 떨어진다고 본다. 일상에서 종이와 돌을 떨어뜨려 본 경험이 강하기 때문이다. 이 단원에서 가장 흔한 오답이자 이 코드에서 가장 먼저 깨야 할 생각이다. 다섯 중 셋이 넘는 학생이 이렇게 답하고, 동시에 떨어진다고 맞히는 학생은 다섯 중 하나에 그친다. 소수의 실수가 아니라 대부분이 공유하는 직관이라는 뜻이다. 공기의 저항을 무시할 수 있다면 물체의 종류나 질량과 상관없이 똑같이 떨어진다.
- 공기 저항이 없다는 조건이 문제에 적혀 있어도 경험대로 답한다. 조건을 읽지 않은 것이 아니라, 읽고도 그것을 실제 상황으로 받아들이지 못하기 때문이다. 조건을 명시한 문항에서도 오답률이 그대로였다. 그러므로 공기 저항을 무시한다는 단서만 붙여서는 부족하고, 왜 일상 경험과 어긋나 보이는지를 함께 짚어야 한다. 같은 종이를 구겨서 떨어뜨리면 무게는 그대로인데 훨씬 빨리 떨어진다는 점이 이때 쓸 수 있는 가장 짧은 반례다.
- 동시에 떨어진다고 맞히고도 조건이 조금 달라지면 다시 무게로 답한다. 개념이 아직 하나로 묶이지 않아 상황마다 직관을 새로 꺼내 쓰기 때문이다. 한 문항을 맞혔다고 해서 이해했다고 보기 어렵다는 뜻이므로, 답을 맞혔더라도 이유를 확인해야 한다.
이런 오개념, 나도 갖고 있을까?
시간-속력 그래프에서 일정한 속력으로 움직이는 물체는 비스듬히 올라가는 선으로 나타난다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
시간-이동 거리 그래프에서는 기울기가 속력을 뜻했기 때문에, 그 기억이 시간-속력 그래프에도 그대로 이어지기 쉬워요. 실제로 시간-속력 그래프에서는 세로축의 높이 자체가 속력을 나타내므로, 속력이 변하지 않으면 선은 수평이 돼요. 그래프의 기울기는 속력이 아니라 속력이 변하는 정도를 나타낸답니다.
시간-이동 거리 그래프에서 선 아래의 넓이를 구해도 이동 거리를 나타내지 않으므로 아무 의미가 없다.정답 보기
O (맞는 설명이에요)
'넓이로 거리를 구한다'고 외우다 보면, 그래프 종류에 상관없이 넓이를 구하면 거리가 나온다고 생각하기 쉬워요. 실제로 넓이가 거리를 뜻하게 되는 것은 세로축이 속력이고 가로축이 시간일 때, 둘을 곱한 값이 거리가 되기 때문이에요. 세로축이 이미 이동 거리인 그래프에서는 넓이를 구해도 '거리 × 시간'이 될 뿐, 이동 거리와는 아무 관련이 없어요.
같은 운동을 말로 설명할 수 있으면 그래프로도 바르게 옮길 수 있다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
말로 설명하는 것과 그래프로 나타내는 것이 같은 내용을 다루기 때문에, 하나를 알면 다른 하나도 자연스럽게 된다고 생각하기 쉬워요. 그런데 실제로는 두 표현 방식을 따로 익히고 서로 연결하지 못하는 경우가 많아서, 말로 설명할 때는 대부분 맞히더라도 그래프로 옮기거나 표현 방식을 바꾸는 과제에서는 정답률이 눈에 띄게 떨어지는 경향이 있어요.
나머지 OX 문제와 4지선다 문제는 앱에서 풀어볼 수 있어요.
자주 묻는 질문
교육부 고시 제2022-33호 과학탐구 교육과정 기반