뿌리학습 · 고등 수학
여러 가지 방정식과 부등식
이차방정식까지는 근의 공식이라는 정해진 길이 있었지만, 차수가 높아지거나 식이 여러 개가 되면 한 가지 공식으로는 풀 수 없다. 이 단원에서는 인수분해로 차수를 낮추는 방법, 문자 하나를 없애는 방법, 조건을 동시에 만족하는 범위를 찾는 방법을 배운다. 모든 풀이에 흐르는 생각은 하나다. 처음 보는 문제를 이미 풀 수 있는 꼴로 바꾼다.
이 단원, 내가 꺼낼 수 있는지 확인해 볼까요?
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개념 정리
삼차방정식과 사차방정식의 기본 전략은 인수분해다. 곱이 0이면 적어도 한 인수가 0이라는 성질을 이용해 차수를 낮춘다. 예를 들어 는 양변을 로 나누지 말고 , 곧 으로 바꾸어 를 얻는다. 인수분해가 바로 보이지 않으면 인수정리를 쓴다. 어떤 수 를 대입해 이 되면 가 의 인수다. 에서 상수항 의 약수를 대입해 보면 이므로, 조립제법으로 나누어 , 곧 이 되어 근은 다. 삼차방정식이라고 해서 실근이 늘 세 개인 것은 아니다. 은 이 되는데, 은 판별식이 음수이므로 실근은 하나이고 나머지 두 근은 허근이다.
사차방정식은 인수분해 공식이나 인수정리, 치환으로 풀 수 있는 경우를 다룬다. 에 대한 식으로만 이루어진 것은 치환으로 차수를 낮춘다. 에서 로 두면 , 곧 이므로 또는 다. 여기서 끝내면 안 된다. , 로 되돌려 를 얻는다. 치환한 식이 인수분해되지 않을 때는 식을 두 제곱의 차로 바꾸어 본다. 로 인수분해한 뒤 두 이차방정식을 각각 푼다.
연립이차방정식은 문자 하나를 없애 한 문자의 방정식으로 바꾼다. 일차식이 있으면 한 문자에 대해 정리해 이차식에 대입한다. 에서 를 대입하면 이므로 또는 이고, 짝이 되는 를 일차식에서 구하면 해는 , 이다. 두 식이 모두 이차식이면 인수분해되는 식이 있는지 먼저 본다. 은 이므로 인 경우와 인 경우로 나누어 다른 식에 각각 대입하고, 두 경우의 해를 모두 모은다.
연립일차부등식의 해는 각 부등식을 모두 만족하는 공통 범위다. 과 를 풀면 각각 , 이므로 해는 이다. 수직선에 두 해를 함께 그려 겹치는 부분을 찾으면 실수가 줄어든다. 꼴은 와 의 연립이다. 는 에서 , 에서 이므로 다.
절댓값은 수직선에서 원점까지의 거리이고, 는 와 사이의 거리다. 그래서 일 때 는 , 는 또는 다. 예를 들어 의 해는 다. 절댓값이 두 개 이상이면 기호 안이 이 되는 값을 경계로 범위를 나눈다. 는 , , 로 나누어 풀면 각각 , , 을 얻고, 이를 합친 이 해다. 범위마다 구한 해는 그 범위와 겹치는 부분만 남긴다는 점을 잊지 않는다.
이 단원의 도구들은 뒤에서 계속 쓰인다. 인수정리와 조립제법은 미분과 적분에서 다항함수의 그래프가 축과 만나는 점을 구할 때 다시 나오고, 연립방정식의 해는 두 그래프의 교점으로 해석된다. 연립부등식의 공통 범위와 절댓값 부등식의 경우 나누기는 이차부등식, 연립이차부등식을 풀 때 같은 방식으로 이어진다.
자주 하는 착각
삼차방정식과 사차방정식
- x³=4x의 양변을 x로 나누어 x²=4로 만들고 x=2, x=−2만 답한다. 이차방정식에서 식을 간단히 하던 습관으로 문자를 약분하듯 나누기 때문이다. x로 나눌 수 있는 것은 x가 0이 아닐 때뿐이라, 나누는 순간 x=0이라는 근을 잃는다. 모든 항을 한쪽으로 옮겨 x(x−2)(x+2)=0으로 인수분해하면 근은 0, 2, −2 세 개다.
- 삼차방정식은 서로 다른 실근을 항상 세 개 가진다고 본다. 이차방정식의 근이 두 개라고 외운 것이 차수만큼 실근이 있다는 생각으로 번지기 때문이다. 이 단원에서 다루는 계수가 실수인 삼차방정식에서도 실근의 개수는 문제마다 다르고, 중근이나 허근이 나올 수 있다. x³−1=0은 인수분해하면 실근 1과 허근 두 개를 가진다.
- 근을 찾을 때 1과 −1만 넣어 보고, 둘 다 근이 아니면 인수정리로는 풀 수 없다고 본다. 교과서 예제의 근이 대부분 ±1이기 때문이다. 계수가 모두 정수이고 상수항이 0이 아닌 방정식에서 정수인 근이 있다면 그 근은 상수항의 약수 가운데 있다. 최고차항의 계수가 1이 아니면 상수항의 약수를 최고차항 계수의 약수로 나눈 꼴의 수까지 후보가 된다.
- x²=t로 치환해 t의 값을 구한 뒤 그 값을 그대로 x의 답으로 적는다. 치환한 식을 푸는 데 집중하다 처음 구하려던 것이 x라는 점을 놓치기 때문이다. 치환은 식을 단순하게 보기 위한 임시 이름이므로 t를 구한 뒤 반드시 x로 되돌려야 하며, t 하나에서 x가 두 개씩 나올 수 있다. t가 음수로 나오면 그에 해당하는 x는 허수이므로 실근만 묻는 문제에서는 제외한다.
연립이차방정식
- 연립이차방정식에서 x의 값만 구하고 끝내거나, 구한 x를 이차식에 넣어 y를 구하다 해가 아닌 쌍을 섞는다. 이차방정식처럼 근을 나열하던 습관 때문이다. 연립방정식의 해는 두 식을 동시에 만족하는 x와 y의 쌍이다. x+y=3, x²+y²=5에서 x=1을 이차식에 넣으면 y=2와 y=−2가 나오지만 (1, −2)는 첫 식을 만족하지 않는다. 짝이 되는 y는 일차식에서 구한다.
- x²−3xy+2y²=0을 (x−y)(x−2y)=0으로 인수분해한 뒤, x=y와 x=2y가 동시에 성립해야 한다고 보고 둘을 연립한다. 곱이 0이라는 조건을 '그리고'로 읽기 때문이다. 곱이 0이면 적어도 하나의 인수가 0이라는 뜻이므로 x=y인 경우와 x=2y인 경우로 나누어, 각각을 나머지 식에 대입해 풀고 얻은 해를 모두 모은다.
연립일차부등식
- 연립일차부등식의 해를 두 부등식의 해를 합친 범위로 답하거나, 겹치는 범위가 없으면 계산이 틀렸다고 여긴다. 각 부등식을 푸는 데 집중해 '동시에 만족'이라는 조건을 놓치기 때문이다. 연립부등식의 해는 두 부등식을 모두 만족하는 공통 범위다. 겹치는 부분이 없으면 해가 없고, x≥3과 x≤3처럼 경계에서만 만나면 해는 x=3 하나뿐이다.
- A<B<C 꼴의 부등식을 A<B와 A<C로 나누어 푼다. 왼쪽 식을 기준으로 삼아 가운데 식이 두 번 쓰인다는 구조를 보지 않기 때문이다. A<B<C는 A<B이고 B<C라는 뜻이므로 A<B와 B<C를 연립한다. x가 가운데 식에만 있으면 세 변에 같은 계산을 해도 되지만, 그렇지 않으면 반드시 둘로 나누어 푼다.
절댓값을 포함한 일차부등식
- |x−a|<b를 x−a<b 하나로만 풀거나, |x−a|>b를 a−b<x<a+b처럼 가운데로 묶는다. 절댓값 기호를 괄호처럼 떼어 버리기 때문이다. b가 양수일 때 |x−a|<b는 수직선에서 a까지의 거리가 b보다 작은 x이므로 a−b<x<a+b이고, |x−a|>b는 거리가 b보다 큰 x이므로 x<a−b 또는 x>a+b이다.
- 절댓값 기호 안의 식의 부호에 따라 범위를 나누어 푼 뒤, 각 범위에서 얻은 해를 그 범위와 견주지 않고 그대로 모은다. 범위 나누기를 절댓값을 벗기는 절차로만 여기기 때문이다. 각 범위에서 구한 해는 그 범위를 전제로 얻은 것이므로 범위와 겹치는 부분만 남겨야 하고, 마지막에 범위마다 남은 해를 합친다. 경계가 되는 값도 빠짐없이 어느 한 범위에 넣는다.
이런 오개념, 나도 갖고 있을까?
x³=4x의 양변을 x로 나누면 x²=4가 되므로 이 방정식의 근은 x=2와 x=−2뿐이다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
이차방정식을 풀 때 양변을 문자로 나누어 식을 간단히 만들던 습관이 있어서, 삼차방정식에서도 자연스럽게 양변을 x로 나누기 쉬워요. 그런데 x로 나눌 수 있는 것은 x가 0이 아닐 때뿐이라, 나누는 순간 x=0이라는 근이 빠져 버려요. 실제로는 모든 항을 한쪽으로 옮겨 인수분해하는 방법을 써야 근을 하나도 빠뜨리지 않고 구할 수 있어요.
계수가 실수인 삼차방정식에서 실근의 개수는 문제마다 다르며, 중근이나 허근이 나올 수 있다.정답 보기
O (맞는 설명이에요)
이차방정식의 근이 두 개라고 배우다 보면, 차수만큼 실근이 존재한다고 자연스럽게 받아들이기 쉬워요. 실제로는 삼차방정식이라도 실근이 하나뿐이거나 중근이 생기는 경우가 있고, 나머지 근이 허근으로 나올 수 있어요. 예를 들어 x³−1=0을 인수분해하면 실근은 1 하나뿐이고, 나머지 두 근은 허근이에요.
인수정리를 이용해 근을 찾을 때 1과 −1만 대입해 보면 충분하다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
교과서 예제에서 근이 ±1인 경우가 많다 보니, 1과 −1만 확인하면 된다고 생각하기 쉬워요. 실제로는 정수인 근의 후보가 상수항의 약수 전체이므로, ±1 외에 다른 약수들도 빠짐없이 대입해 보아야 해요. 또한 최고차항의 계수가 1이 아닌 경우에는 상수항의 약수를 최고차항 계수의 약수로 나눈 꼴의 수까지 후보로 고려해야 해요.
나머지 OX 문제와 4지선다 문제는 앱에서 풀어볼 수 있어요.
교육부 고시 제2022-33호 수학 교육과정 기반