뿌리학습 · 고등 수학
확률분포와 통계적 추정
앞 단원에서 확률을 배웠다면 이제 확률을 가진 값들이 어떻게 분포하는지를 본다. 그리고 전체를 다 조사할 수 없을 때 일부만 조사해 전체를 추측하는 방법까지 다룬다. 여론조사에서 지지율을 말할 때 오차 범위를 함께 밝히는 이유도 여기에 있다. 현실에서 쓰이는 통계의 뼈대가 이 단원에 들어 있다.
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개념 정리
시행의 결과에 수를 대응시킨 것을 확률변수라 하고, 확률변수가 가지는 값과 그 값을 가질 확률의 대응 관계를 확률분포라 한다. 확률변수는 값을 하나씩 셀 수 있는 이산확률변수와, 어떤 구간의 모든 실수를 값으로 가지는 연속확률변수로 나뉜다. 이산확률변수에서는 각 확률이 이상이고 모두 더하면 이 된다는 점이 중요하다. 미지수가 있는 확률분포표에서는 이 조건이 식을 세우는 근거가 된다.
이산확률변수의 중심과 퍼짐은 기댓값과 표준편차로 나타낸다. 기댓값은 각 값에 그 값이 나올 확률을 곱해 모두 더한 값이며 평균이라고도 한다. 단순한 평균이 아니라 확률로 가중한 평균이라는 점을 놓치면 안 된다. 분산은 값과 평균의 차를 제곱한 것의 기댓값이고 표준편차는 그 제곱근이다. 확률변수를 로 바꾸면 평균은 가 되지만, 표준편차는 가 되어 더한 상수에는 영향을 받지 않는다.
같은 시행을 독립적으로 번 되풀이하고 각 시행에서 사건이 일어날 확률이 로 일정할 때, 그 사건이 일어나는 횟수는 이항분포 를 따른다. 이때 평균은 , 분산은 다. 조건을 확인하지 않고 공식을 쓰면 안 된다. 시행마다 확률이 달라지는 상황에는 쓸 수 없다.
연속확률변수에서 가장 중요한 것이 정규분포다. 평균을 중심으로 좌우가 같은 종 모양이며 평균이 중심의 위치를, 표준편차가 퍼진 정도를 정한다. 표준편차가 클수록 낮고 넓게 퍼진다. 확률을 구할 때는 표준화를 거친다. 정규분포를 따르는 확률변수에서 평균을 빼고 표준편차로 나누면 평균이 , 표준편차가 인 표준정규분포를 따르게 되고, 이 값으로 표를 읽어 확률을 구한다. 한편 이항분포에서 와 가 모두 충분히 크면 그 분포를 정규분포로 근사할 수 있다. 시행 횟수를 크게 늘리면 사건이 일어난 비율이 확률에 가까워진다는 큰 수의 법칙도 이 맥락에서 확인할 수 있다.
이제 전체를 추측하는 단계다. 조사 대상 전체를 모집단, 그중 뽑은 일부를 표본이라 하며 각 대상이 뽑힐 가능성을 같게 하는 임의추출로 표본을 뽑는다. 여기서 핵심은 표본평균이 확률변수라는 점이다. 어떤 표본을 뽑았는지에 따라 값이 달라지기 때문이다. 모평균이 , 모표준편차가 인 모집단에서 크기 인 표본을 임의추출하면, 표본평균의 평균은 이고 표준편차는 이다. 표본이 커질수록 표본평균이 모평균 가까이 모인다는 뜻이다. 또 모집단이 정규분포를 따르면 표본의 크기와 관계없이 표본평균도 정규분포를 따르고, 모집단이 정규분포가 아니어도 표본의 크기가 충분히 크면 표본평균의 분포는 정규분포에 가까워진다.
이 성질로 모평균을 추정한다. 모집단이 정규분포를 따르고 모표준편차를 알 때, 표본평균을 중심으로 일정한 폭을 잡아 구간을 만들면 신뢰구간이 된다. 여기서 신뢰도의 뜻을 정확히 알아야 한다. 신뢰도 퍼센트는 같은 방법으로 구간을 여러 번 만들었을 때 그중 퍼센트 정도가 모평균을 포함한다는 뜻이지, 특정한 한 구간에 모평균이 있을 확률이 퍼센트라는 뜻이 아니다. 다른 조건이 같다면 신뢰도를 높이거나 표본의 크기를 줄일수록 구간이 넓어진다. 모비율도 표본의 크기가 클 때 같은 방식으로 추정한다. 실제 자료로 추정할 때는 통계 프로그램 같은 공학 도구를 쓰면 표본의 크기나 신뢰도를 바꾸어 가며 구간이 어떻게 달라지는지 바로 확인할 수 있다. 불확실한 상황에서 자료로 판단하는 이 방법이 통계의 쓸모다.
자주 하는 착각
확률변수와 확률분포
- 확률변수를 보통의 변수와 같은 것으로 본다. 변수라는 말이 같기 때문이다. 확률변수는 시행의 결과에 수를 대응시킨 것이며, 각 값에 확률이 정해져 있다. 어떤 값을 가질지는 시행을 해 보아야 정해진다.
- 이산확률변수와 연속확률변수를 값의 크기로 구분한다. 큰 수와 작은 수로 나누려 하기 때문이다. 기준은 가질 수 있는 값을 하나씩 셀 수 있는지다. 셀 수 있으면 이산확률변수이고, 어떤 구간 안의 모든 실수처럼 연속적으로 값을 가지면 연속확률변수다.
- 확률분포에서 확률의 합이 1이라는 조건을 확인하지 않는다. 표의 값만 읽기 때문이다. 이산확률변수의 확률은 각각 0 이상이고 모두 더하면 1이 된다. 미지수가 들어 있는 표에서는 이 조건이 식을 세우는 근거가 된다.
기댓값과 표준편차
- 기댓값을 값들의 단순한 평균으로 구한다. 평균이라는 말 때문이다. 기댓값은 각 값에 그 값이 나올 확률을 곱해 모두 더한 값이다. 확률이 다르면 단순 평균과 다른 값이 나온다.
- 확률변수를 상수배하거나 더했을 때 표준편차가 어떻게 변하는지 혼동한다. 평균의 변화와 같다고 보기 때문이다. 평균은 상수배와 덧셈이 그대로 반영되지만, 표준편차는 상수배의 절댓값만 곱해지고 더한 상수에는 영향을 받지 않는다.
이항분포와 정규분포
- 이항분포의 조건을 확인하지 않고 공식을 쓴다. 공식이 간단하기 때문이다. 같은 시행을 독립적으로 여러 번 반복하고 각 시행에서 사건이 일어날 확률이 일정할 때 이항분포를 따른다. 시행마다 확률이 달라지면 쓸 수 없다. 이항분포를 정규분포로 근사할 때는 시행 횟수만이 아니라 확률이 0이나 1에 지나치게 치우치지 않았는지도 함께 보아야 한다.
- 정규분포에서 확률을 구할 때 표준화를 거치지 않는다. 평균과 표준편차를 그대로 넣으려 하기 때문이다. 확률변수에서 평균을 빼고 표준편차로 나누면 표준정규분포를 따르게 되며, 이 값으로 표를 읽어 확률을 구한다.
- 정규분포곡선의 모양을 평균만으로 판단한다. 평균이 중심이라는 점만 기억하기 때문이다. 평균은 곡선의 중심 위치를 정하고 표준편차는 퍼진 정도를 정한다. 표준편차가 클수록 낮고 넓게 퍼진 모양이 된다.
표본과 추정
- 표본평균을 모평균과 같은 값으로 본다. 표본으로 전체를 대신한다고 생각하기 때문이다. 임의추출로 뽑은 표본의 표본평균은 어떤 표본을 뽑았는지에 따라 달라지는 확률변수다. 그 평균은 모평균과 같지만 표본마다 값이 흩어진다.
- 신뢰구간을 모평균이 그 구간에 있을 확률로 읽는다. 신뢰도가 확률처럼 보이기 때문이다. 신뢰도 95퍼센트는 같은 방법으로 구간을 여러 번 만들었을 때 그 가운데 95퍼센트 정도가 모평균을 포함한다는 뜻이다. 또 신뢰도를 높이거나 표본의 크기를 줄이면 구간이 넓어진다.
이런 오개념, 나도 갖고 있을까?
확률변수는 보통의 변수와 같은 것으로, 특정한 값을 미리 정해 놓고 사용하는 것이다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
'변수'라는 말이 같아서 확률변수를 일반적인 변수처럼 단순히 어떤 수를 나타내는 것으로 생각하기 쉬워요. 실제로는 확률변수는 시행의 결과 하나하나에 수를 대응시킨 것이라는 점이 달라요. 또한 각 값에 확률이 정해져 있고, 시행을 해 보기 전까지는 어떤 값이 나올지 확정되지 않는다는 특성이 있어요.
이산확률변수와 연속확률변수는 값의 크기가 아니라, 가질 수 있는 값을 하나씩 셀 수 있는지 여부로 구분한다.정답 보기
O (맞는 설명이에요)
변수의 값이 크고 작은 것에 따라 종류가 나뉜다고 생각하기 쉬워요. 실제로는 값의 크기와는 관계없이, 가질 수 있는 값을 하나씩 셀 수 있으면 이산확률변수이고, 어떤 구간 안의 모든 실수처럼 연속적으로 값을 가지면 연속확률변수예요.
확률분포 표에 미지수가 포함되어 있어도 표에 주어진 값만 읽으면 되므로, 모든 확률의 합이 1이라는 조건을 따로 확인할 필요가 없다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
표에 숫자가 이미 나열되어 있으면 그 값을 그대로 읽기만 하면 된다고 생각하기 쉬워요. 하지만 이산확률변수의 확률은 각각 0 이상이고 모두 더하면 반드시 1이 되어야 한다는 조건이 있어요. 그래서 표에 미지수가 들어 있을 때는 이 조건을 근거로 식을 세워 미지수의 값을 구해야 해요.
나머지 OX 문제와 4지선다 문제는 앱에서 풀어볼 수 있어요.
교육부 고시 제2022-33호 수학 교육과정 기반