뿌리학습 · 고등 수학
공간도형과 공간좌표
평면에서 다루던 도형을 공간으로 옮기면 생각할 것이 늘어난다. 두 직선이 만나지 않는데 평행하지도 않은 경우가 생기고, 직선과 평면, 평면과 평면 사이의 관계도 따져야 한다. 이 단원에서는 공간에서의 위치 관계를 정리하고, 도형을 평면에 비추어 보는 정사영과 좌표를 이용한 계산까지 다룬다.
이 단원, 내가 꺼낼 수 있는지 확인해 볼까요?
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개념 정리
먼저 위치 관계다. 공간에서 서로 다른 두 직선은 한 점에서 만나거나, 평행하거나, 만나지도 않고 평행하지도 않은 꼬인 위치에 있다. 세 번째 경우가 평면에는 없던 것이다. 직선과 평면은 만나지 않거나, 한 점에서 만나거나, 직선이 평면에 포함된다. 서로 다른 두 평면은 만나지 않거나 한 직선에서 만나며, 이 직선을 교선이라 한다.
수직 관계는 조건을 정확히 알아야 한다. 직선이 평면과 수직이려면 그 평면 위에서 교점을 지나는 서로 다른 두 직선과 각각 수직이어야 한다. 한 직선과만 수직인 것으로는 부족하다. 서로 만나는 두 평면이 이루는 각은 교선 위의 한 점에서 교선에 수직으로 각 평면에 그은 두 직선이 이루는 각으로 정하고 이를 이면각의 크기라 하며, 이 각이 직각이면 두 평면은 수직이다.
이 수직 관계를 정리한 것이 삼수선 정리다. 평면 밖의 한 점에서 평면에 수선을 내리고, 그 수선의 발에서 평면 위의 직선에 다시 수선을 내리면 세 직선 사이에 수직 관계가 생긴다. 이때 어떤 수직 관계가 주어졌는지에 따라 나머지 수직 관계를 판단할 수 있다는 것이 정리의 내용이며, 주어진 관계에 따라 쓰는 형태가 달라진다. 문제를 풀 때는 어느 점에서 어디에 수선을 내렸는지를 그림에 표시하는 것이 첫 단계다.
도형을 평면에 수직으로 비춘 것을 정사영이라 한다. 선분의 정사영의 길이는 원래 길이에 그 선분과 평면이 이루는 각의 코사인을 곱한 값이고, 도형의 정사영의 넓이는 원래 넓이에 두 평면이 이루는 각의 코사인을 곱한 값이다. 길이를 사영할 때와 넓이를 사영할 때 쓰는 각이 다르다는 점을 기억해야 한다. 코사인을 곱하므로 길이나 넓이가 이 아닌 도형의 정사영은 원래보다 짧거나 작고, 원래와 같아지는 것은 그 도형이 비추는 평면과 평행할 때다.
좌표를 도입하면 계산으로 해결할 수 있다. 공간의 점은 세 실수의 순서쌍 로 나타낸다. 두 점 사이의 거리는 세 성분의 차를 각각 제곱해 더한 뒤 제곱근을 취해 구한다. 곧 다. 선분의 내분점도 마찬가지로 확장된다. 두 점 과 를 잇는 선분을 으로 내분하는 점은 이다. 평면에서 쓰던 식에 성분이 하나 늘었을 뿐이다.
중심이 이고 반지름이 인 구의 방정식은 다. 중심에서의 거리가 일정하다는 조건을 그대로 옮긴 식이다. 식에서 중심을 읽을 때는 괄호 안의 부호를 반대로 읽어야 한다. 이 단원의 내용은 벡터로 공간을 다루는 다음 단원으로 이어지고, 거기서 평면의 방정식과 구의 방정식을 벡터로 다시 나타내게 된다.
자주 하는 착각
직선과 평면의 위치 관계
- 공간에서 두 직선이 만나지 않으면 평행하다고 본다. 평면에서의 경험을 그대로 옮기기 때문이다. 공간에서는 만나지도 않고 평행하지도 않은 꼬인 위치가 있다. 두 직선이 한 평면 위에 있는지부터 확인해야 한다.
- 한 직선이 평면 위의 어떤 직선과 수직이면 그 평면과 수직이라고 본다. 수직인 관계를 하나만 확인하기 때문이다. 직선이 평면과 수직이려면 그 평면 위에서 교점을 지나는 서로 다른 두 직선과 각각 수직이어야 한다. 한 직선과만 수직인 경우는 그렇지 않다.
- 두 평면이 만나지 않으면 그 사이의 모든 직선이 평행하다고 본다. 평행한 두 평면을 떠올리기 때문이다. 두 평면이 평행해도 각 평면 위의 두 직선은 꼬인 위치에 있을 수 있다. 평면의 관계와 직선의 관계는 따로 따져야 한다.
삼수선의 정리와 정사영
- 삼수선 정리를 세 수직 관계 가운데 아무 둘만 알면 나머지가 따라오는 것으로 본다. 관계의 개수만 세기 때문이다. 어떤 수직 관계가 주어졌는지에 따라 쓰는 형태가 달라지므로, 평면 밖의 점에서 평면에 내린 수선의 발과 그 발에서 평면 위의 직선에 내린 수선의 발을 그림에 표시해 어떤 관계가 주어졌는지 확인해야 한다.
- 정사영의 길이가 원래 길이와 같다고 본다. 그림자가 같은 크기로 생긴다고 생각하기 때문이다. 정사영의 길이는 원래 길이에 두 직선이 이루는 각의 코사인을 곱한 값이므로 원래보다 짧거나 같다.
- 도형의 정사영의 넓이를 구할 때 길이의 관계를 그대로 쓴다. 길이와 넓이를 같은 방식으로 보기 때문이다. 넓이의 정사영은 원래 넓이에 두 평면이 이루는 각의 코사인을 곱한 값이다. 무엇을 사영하는지에 따라 쓰는 각이 다르다.
- 두 평면이 이루는 각을 아무 두 직선의 각으로 잡는다. 평면끼리 각을 재는 방법을 정하지 않았기 때문이다. 서로 만나는 두 평면이 이루는 각은 교선 위의 한 점에서 교선에 수직으로 각 평면에 그은 두 직선이 이루는 각이며, 이를 이면각의 크기라 한다.
공간좌표
- 두 점 사이의 거리를 구할 때 한 성분을 빠뜨린다. 평면에서 쓰던 식을 그대로 옮기기 때문이다. 공간에서는 x, y, z 세 성분의 차를 각각 제곱해 더한 뒤 제곱근을 취한다.
- 구의 방정식에서 중심의 좌표와 부호를 뒤바꾼다. 식에 보이는 수를 그대로 읽기 때문이다. 각 괄호 안의 부호를 반대로 읽어야 중심의 좌표가 된다. 반지름은 우변의 제곱근이다.
- 좌표공간에서 선분의 내분점을 구할 때 성분 하나를 빠뜨리거나 대입 순서를 뒤바꾼다. 평면에서 쓰던 식을 그대로 옮기기 때문이다. 세 성분 모두에 같은 방식으로 내분하는 식을 적용해야 하며, 어느 점이 앞이고 어느 비가 어느 점에 곱해지는지를 맞추어야 한다.
이런 오개념, 나도 갖고 있을까?
공간에서 두 직선이 만나지 않으면 항상 평행한 위치에 있다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
평면에서는 두 직선이 만나지 않으면 반드시 평행하기 때문에, 공간에서도 같은 규칙이 적용된다고 생각하기 쉬워요. 실제로는 공간에서 두 직선이 만나지도 않고 평행하지도 않은 꼬인 위치라는 경우가 따로 존재해요. 두 직선이 평행한지 꼬인 위치인지 판단하려면, 먼저 두 직선이 한 평면 위에 놓일 수 있는지를 확인하는 것이 필요해요.
한 직선이 평면과 수직이려면, 그 평면 위에서 교점을 지나는 서로 다른 두 직선과 각각 수직이어야 한다.정답 보기
O (맞는 설명이에요)
수직 관계를 한 번만 확인해도 충분하다고 생각하기 쉬워요. 그러나 실제로는 평면 위의 직선 하나와 수직이더라도, 그 직선과 같은 평면 안에서 교점을 지나는 또 다른 직선에 대해서는 수직이 아닐 수 있어요. 직선이 평면과 수직임을 확인하려면, 교점을 지나는 서로 다른 두 직선과 각각 수직인지를 반드시 확인해야 해요.
두 평면이 평행하면, 각 평면 위에 있는 임의의 두 직선도 반드시 평행하다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
평행한 두 평면을 보면 전체적으로 '서로 만나지 않는다'는 인상이 강해서, 그 위의 직선들도 모두 같은 방향으로 나란할 것이라고 생각하기 쉬워요. 하지만 평면의 관계와 그 평면 위 직선들의 관계는 별개로 따져야 해요. 실제로는 두 평면이 평행해도 각 평면 위의 직선이 서로 다른 방향을 향하고 있으면, 두 직선은 만나지도 않고 평행하지도 않은 꼬인 위치에 있을 수 있어요.
나머지 OX 문제와 4지선다 문제는 앱에서 풀어볼 수 있어요.
교육부 고시 제2022-33호 수학 교육과정 기반