피어남

뿌리학습 · 고등 수학

인수분해

인수분해는 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것이다. 곱셈 공식으로 식을 전개하는 과정을 거꾸로 따라가는 것이라서, 전개를 정확히 할 수 있어야 인수분해도 잘할 수 있다. 인수분해를 하면 식의 구조가 드러나 방정식을 풀거나 식의 값을 구하는 일이 훨씬 쉬워진다.

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개념 정리

인수분해를 시작할 때는 먼저 공통인수가 있는지 확인하고, 있으면 먼저 묶어 낸다. 예를 들어 2x3−8x=2x(x2−4)2x^3-8x=2x(x^2-4)로 묶은 뒤, x2−4=(x+2)(x−2)x^2-4=(x+2)(x-2)를 이용해 2x(x+2)(x−2)2x(x+2)(x-2)까지 인수분해한다. 이처럼 더 이상 인수분해되지 않을 때까지 계속해야 한다.
기본이 되는 인수분해 공식은 곱셈 공식을 거꾸로 쓴 것이다. a2+2ab+b2=(a+b)2a^2+2ab+b^2=(a+b)^2, a2−b2=(a+b)(a−b)a^2-b^2=(a+b)(a-b), a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3, a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2), a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)이다. 세제곱의 합과 차 공식은 두 번째 괄호의 가운데 항 부호를 자주 틀리므로, 헷갈리면 전개해서 확인한다. 한편 a2+b2a^2+b^2은 계수가 실수인 범위에서 일차식의 곱으로 인수분해할 수 없다.
식에 같은 부분이 반복되면 그 부분을 한 문자로 치환한다. 예를 들어 (x2+x)2−8(x2+x)+12(x^2+x)^2-8(x^2+x)+12에서 x2+x=tx^2+x=t로 놓으면 t2−8t+12=(t−2)(t−6)t^2-8t+12=(t-2)(t-6)이다. 원래 식을 다시 넣으면 (x2+x−2)(x2+x−6)(x^2+x-2)(x^2+x-6)이고, 각각을 더 인수분해하면 (x+2)(x−1)(x+3)(x−2)(x+2)(x-1)(x+3)(x-2)가 된다. 치환한 뒤에는 반드시 원래 식으로 되돌리고 더 인수분해되는지 확인한다.
공식이 바로 보이지 않는 식은 먼저 전개하지 말고 식의 구조를 살펴본다. 문자가 여러 개인 식은 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 내림차순으로 정리하면 인수분해의 실마리가 보이는 경우가 많다.
삼차 이상의 다항식은 인수정리를 이용한다. 계수가 정수이고 최고차항의 계수가 11이며 상수항이 00이 아닌 다항식이면 상수항의 약수에 ±\pm를 붙인 값을 차례로 넣어 f(a)=0f(a)=0이 되는 aa를 찾는다. 상수항이 00이면 먼저 xx를 인수로 묶는다. 예를 들어 f(x)=x3−2x2−5x+6f(x)=x^3-2x^2-5x+6이면 f(1)=0f(1)=0이므로 x−1x-1이 인수이고, 조립제법으로 나누면 f(x)=(x−1)(x2−x−6)=(x−1)(x−3)(x+2)f(x)=(x-1)(x^2-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2)이다.
인수분해는 이후 이차방정식과 고차방정식, 이차부등식을 푸는 가장 기본적인 도구가 된다. 인수분해한 결과는 전개해서 원래 식이 나오는지로 언제든 검산할 수 있다.

자주 하는 착각

인수분해 공식

  1. 공통인수가 있는데도 묶지 않고 공식부터 적용한다. 공식이 먼저 눈에 들어오기 때문이다. 모든 항에 공통인수가 있다면 먼저 묶어 내면 식이 간단해지고 이후의 인수분해 방법을 적용하기 쉬워진다.
  2. a³+b³을 (a+b)(a²+ab+b²)로 인수분해한다. 가운데 항의 부호를 기억하지 못하기 때문이다. a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)이고, a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)이다. 전개해서 확인하면 부호를 틀리지 않는다.
  3. a²+b²도 인수분해된다고 보고 (a+b)(a-b)나 (a+b)²으로 쓴다. a²-b²과 모양이 비슷하기 때문이다. 이 단원에서 다루는 계수가 실수인 범위에서는 a²+b²을 일차식의 곱으로 인수분해할 수 없다.
  4. 인수분해를 중간에서 멈춘다. 한 번 인수분해하면 끝났다고 생각하기 때문이다. x⁴-1=(x²+1)(x²-1)에서 멈추지 말고 x²-1=(x+1)(x-1)까지 더 이상 인수분해되지 않을 때까지 계속해야 한다.

복잡한 식의 인수분해

  1. 공통부분을 치환해 인수분해한 뒤 원래 식으로 되돌리지 않는다. 치환한 문자로 답이 나왔다고 생각하기 때문이다. 치환은 계산을 쉽게 하려는 도구이므로, 마지막에 원래 식을 다시 넣고 더 인수분해되는지 확인해야 한다.
  2. 같은 부분이 반복되는 식을 보고 먼저 전부 전개한다. 전개하면 식이 정리된다고 생각하기 때문이다. 전개하면 차수가 높아져 오히려 인수분해가 어려워진다. 반복되는 부분을 한 문자로 치환하면 차수가 낮은 식이 되어 인수분해가 쉬워진다.
  3. 문자가 여러 개인 식을 아무 문자나 기준으로 정리한다. 기준을 정하는 방법을 모르기 때문이다. 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 내림차순으로 정리하면 인수분해가 쉬워지는 경우가 많다.

인수정리를 이용한 인수분해

  1. 삼차식을 인수분해할 때 x=1만 넣어 보고 인수분해가 안 된다고 결론 낸다. 대입할 후보를 모르기 때문이다. 계수가 정수이고 최고차항의 계수가 1이며 상수항이 0이 아닌 다항식에서는 상수항의 약수에 ±를 붙인 값들을 후보로 살펴본다. 상수항이 0이면 먼저 x를 인수로 묶는다.
  2. f(a)=0을 찾은 뒤 인수를 x+a로 쓴다. 대입한 값의 부호를 그대로 옮기기 때문이다. f(a)=0이면 x-a가 인수이다.
  3. 인수분해 문제에서 식을 전개해 답한다. 인수분해와 전개를 거꾸로 이해하기 때문이다. 인수분해는 다항식을 여러 다항식의 곱으로 나타내는 것이고, 전개는 곱을 풀어 합으로 나타내는 것이다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

공통인수가 있는 식을 인수분해할 때는 공식을 먼저 적용한 뒤 공통인수를 묶어도 결과가 같으므로 순서는 상관없다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

공식의 형태가 먼저 눈에 들어오면 공통인수를 묶는 단계를 건너뛰고 공식부터 적용하고 싶어지기 쉬워요. 그러나 공통인수를 먼저 묶지 않으면 식이 복잡한 상태에서 공식을 적용해야 하므로 실수가 생기거나 인수분해가 제대로 완성되지 않을 수 있어요. 실제로는 공통인수를 먼저 묶어 식을 간단하게 만든 뒤에 공식을 적용하는 것이 올바른 순서예요.
a³+b³을 인수분해하면 (a+b)(a²-ab+b²)이다.정답 보기

O (맞는 설명이에요)

세제곱 합·차 공식에서 가운데 항의 부호를 헷갈려 틀리기 쉬워요. a³+b³의 경우 두 번째 인수의 가운데 항은 -ab이고, a³-b³의 경우에는 +ab예요. 전개해서 직접 확인해 보면 부호를 확실히 구분할 수 있어요.
a²+b²은 (a+b)(a-b) 또는 (a+b)²으로 인수분해할 수 있다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

a²+b²이 a²-b²과 모양이 비슷해서 같은 방식으로 인수분해되리라 생각하기 쉬워요. 그러나 (a+b)(a-b)를 전개하면 a²-b²이 되고, (a+b)²을 전개하면 a²+2ab+b²이 되므로, 어느 쪽도 a²+b²과 일치하지 않아요. 실제로 계수가 실수인 범위에서는 a²+b²을 일차식의 곱으로 나타낼 수 없어요.

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