피어남

뿌리학습 · 고등 수학

지수와 로그

큰 수와 작은 수를 한 번에 다루려면 새로운 표현이 필요하다. 세균이 몇 시간 만에 몇 배로 늘었는지, 지진의 규모가 얼마나 차이 나는지 같은 물음이 그렇다. 이 단원에서는 거듭제곱의 지수를 유리수와 실수까지 넓히고, 그 반대 방향에서 몇 번 곱해야 그 수가 되는지를 묻는 로그를 배운다. 두 표현은 서로 뒤집힌 관계라 함께 익혀야 한다.

이 단원, 내가 꺼낼 수 있는지 확인해 볼까요?

만 14세 이상 — 바로 시작하기

15일 무료 · 끝나도 자동 결제 없음 · 이후 월 결제 9,800원부터

개념 정리

먼저 거듭제곱근이다. nn제곱해서 aa가 되는 수를 aa의 nn제곱근이라 한다. 여기서 주의할 점이 있다. aa의 nn제곱근은 그런 수 전체를 가리키는 말이고, 근호를 쓴 an\sqrt[n]{a}는 그중 실수인 값 하나를 나타낸다. nn이 짝수일 때 aa가 양수이면 실수인 nn제곱근이 양수와 음수로 두 개 있고, aa가 음수이면 실수인 nn제곱근은 없다. nn이 홀수이면 aa의 부호와 관계없이 실수인 nn제곱근이 하나뿐이다.
이제 지수를 넓힌다. 밑이 00이 아닐 때 a0=1a^0=1로 정하고, a−n=1ana^{-n}=\frac{1}{a^n}으로 정한다. 그리고 a>0a>0이고 mm이 정수, nn이 양의 정수일 때 amn=amna^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}으로 정한다. 분모가 근호의 지수, 분자가 거듭제곱의 지수라는 점을 헷갈리지 말아야 한다. 여기서 밑이 양수라는 조건이 중요하다. 지수를 유리수나 실수까지 넓히려면 밑이 양수여야 규칙이 어긋나지 않는다. 이렇게 정하면 자연수 지수에서 성립하던 지수법칙이 실수 지수에서도 그대로 성립한다.
지수법칙은 이렇다. a>0a>0, b>0b>0이고 xx, yy가 실수일 때 axay=ax+ya^xa^y=a^{x+y}, axay=ax−y\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}, (ax)y=axy(a^x)^y=a^{xy}, (ab)x=axbx(ab)^x=a^xb^x다. 곱하면 지수를 더하고 거듭제곱하면 지수를 곱한다는 구조는 중학교에서 배운 것과 같다.
방향을 바꾸어 보자. 22를 몇 번 곱해야 88이 되는지를 묻는 것이 로그다. a>0a>0, a≠1a\ne1, N>0N>0일 때 ax=Na^x=N을 만족하는 xx를 log⁡aN\log_a N으로 쓴다. 밑이 11이 아닌 양수, 진수가 양수라는 조건은 계산 전에 반드시 확인해야 한다. 문자가 들어 있으면 이 조건이 범위를 정하는 근거가 된다.
로그의 성질은 지수법칙을 뒤집은 것이다. a>0a>0, a≠1a\ne1, M>0M>0, N>0N>0일 때 log⁡aMN=log⁡aM+log⁡aN\log_a MN=\log_a M+\log_a N, log⁡aMN=log⁡aM−log⁡aN\log_a\frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N, log⁡aMk=klog⁡aM\log_a M^k=k\log_a M이고, 밑을 바꾸는 로그의 밑의 변환도 있는데, b>0b>0이고 b≠1b\ne1일 때 log⁡aN=log⁡bNlog⁡ba\log_a N=\frac{\log_b N}{\log_b a}다. 여기서 자주 틀리는 두 가지가 있다. 두 수의 합의 로그는 각 로그의 합이 아니다. 또 진수에 붙은 지수는 앞으로 꺼낼 수 있지만 로그 전체를 제곱한 (log⁡aM)2(\log_a M)^2은 그렇게 할 수 없다.
밑이 1010인 로그를 상용로그라 하고 밑을 생략해 log⁡N\log N으로 쓴다. 특별한 연산이 아니라 밑이 정해진 로그일 뿐이다. 자릿수를 따지거나 소리의 세기, 지진의 규모처럼 폭이 큰 양을 다룰 때 쓰인다. 다음 단원에서는 이 지수와 로그를 함수로 보아 그래프를 그리고 성질을 살핀다.

자주 하는 착각

거듭제곱근

  1. 실수 a의 n제곱근과 근호를 쓴 기호를 같은 것으로 본다. 두 표현이 함께 나오기 때문이다. a의 n제곱근은 n제곱해서 a가 되는 수 전체를 가리키고, 근호를 쓴 기호는 그 가운데 정해진 하나의 대표값을 나타낸다. n이 짝수일 때 근호가 나타내는 값은 음이 아닌 쪽이다. n이 짝수이고 a가 양수이면 실수인 n제곱근이 양수와 음수로 두 개 있다.
  2. 어떤 수의 짝수 제곱근을 구할 때 음수인 경우를 따지지 않는다. 근호를 씌우면 늘 양수가 나온다고 기억하기 때문이다. n이 짝수일 때 a가 양수이면 실수인 n제곱근이 두 개이고, a가 음수이면 실수인 n제곱근은 없다. n이 홀수이면 a의 부호와 관계없이 실수인 n제곱근이 하나뿐이다.
  3. 근호 안의 문자를 늘 양수로 가정하고 계산한다. 예제가 대부분 양수이기 때문이다. n이 짝수일 때 제곱근의 성질을 쓰려면 안의 값이 음이 아니어야 하고, 문자가 음수일 수 있으면 절댓값으로 처리해야 한다.

지수의 확장

  1. 지수가 유리수나 실수로 넓어져도 밑에 아무 수나 올 수 있다고 본다. 자연수 지수에서는 밑에 제한이 없었기 때문이다. 지수를 유리수나 실수까지 넓히려면 밑이 양수여야 한다. 밑이 음수이면 같은 규칙이 성립하지 않는 경우가 생긴다.
  2. 지수가 0이거나 음수인 경우의 뜻을 계산 결과로만 외운다. 정의를 따로 배우지 않았기 때문이다. 밑이 0이 아닐 때 지수가 0이면 값을 1로 정하고, 지수가 음수이면 그 절댓값을 지수로 하는 거듭제곱의 역수로 정한다. 이렇게 정해야 지수법칙이 그대로 이어진다.
  3. 유리수 지수를 거듭제곱근으로 바꿀 때 분모와 분자의 자리를 바꾼다. 분수의 모양만 기억하기 때문이다. 분모가 근호의 지수가 되고 분자가 거듭제곱의 지수가 된다.

로그

  1. 로그의 밑과 진수에 붙는 조건을 확인하지 않는다. 계산에만 집중하기 때문이다. 밑은 1이 아닌 양수여야 하고 진수는 양수여야 한다. 밑이나 진수에 문자가 있으면 이 조건에서 범위를 먼저 구해야 한다.
  2. 로그의 성질을 곱셈과 덧셈에 두루 적용한다. 성질을 모양으로만 외우기 때문이다. 두 수의 곱의 로그는 각 로그의 합이지만, 두 수의 합의 로그는 각 로그의 합이 아니다. 성립하는 것은 곱과 몫, 그리고 거듭제곱의 경우다.
  3. 진수의 거듭제곱과 로그 전체의 거듭제곱을 구분하지 않는다. 지수의 위치를 대충 읽기 때문이다. 진수에 붙은 지수는 로그 앞으로 꺼낼 수 있지만, 로그 전체를 제곱한 것은 그렇게 할 수 없다. 두 표현은 값이 다르다.

상용로그

  1. 상용로그를 특별한 다른 연산으로 본다. 이름이 따로 있기 때문이다. 상용로그는 밑이 10인 로그를 말하며 밑을 생략해 쓴 것일 뿐이다. 자릿수나 소리의 세기처럼 값의 폭이 큰 양을 다룰 때 쓰인다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

a의 n제곱근과 근호를 사용한 기호 ⁿ√a는 같은 것을 나타낸다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

두 표현이 함께 교과서에 등장하다 보니 같은 것을 가리킨다고 생각하기 쉬워요. 실제로는 a의 n제곱근은 'n제곱해서 a가 되는 수 전체'의 집합 개념이고, ⁿ√a는 그 중에서 대표값 하나를 골라 나타낸 기호예요. 예를 들어 n이 짝수이고 a가 양수일 때, n제곱근은 양수와 음수 두 개가 존재하지만 ⁿ√a는 그 중 음이 아닌 값 하나만을 가리켜요.
n이 짝수일 때, 음수 a의 실수인 n제곱근은 존재하지 않는다.정답 보기

O (맞는 설명이에요)

근호를 씌우면 결과가 양수 또는 음수 중 하나라도 나올 것이라고 생각하기 쉬워요. 하지만 어떤 실수를 짝수 번 곱하면 결과가 반드시 0 이상이 되기 때문에, 짝수 제곱근은 음수 a에 대해 실수 범위에서 아예 존재하지 않아요. 반면 n이 홀수이면 a의 부호에 상관없이 실수인 n제곱근이 정확히 하나 존재해요.
근호 안의 문자는 항상 양수이므로, √(a²) = a로 계산할 수 있다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

예제에서 다루는 수가 대부분 양수이다 보니, 근호 안의 문자도 당연히 양수일 거라고 생각하기 쉬워요. 실제로는 짝수 제곱근의 성질을 문자에 적용할 때, 그 문자가 음수일 가능성이 있다면 √(a²) = a로 쓰면 틀리고, √(a²) = |a|로 처리해야 올바른 표현이에요.

나머지 OX 문제와 4지선다 문제는 앱에서 풀어볼 수 있어요.

이 개념의 뿌리 계보 더 보기 →
전체 문제와 해설, 앱에서 무료로 시작하기

틀린 문제가 실력이 되기까지 보기

교육부 고시 제2022-33호 수학 교육과정 기반

← 뿌리학습으로 돌아가기