피어남

뿌리학습 · 고등 수학

다항함수의 미분법

움직이는 물체의 속도를 생각해 보자. 전체 거리를 전체 시간으로 나누면 평균 속력이 나오지만, 계기판이 가리키는 것은 그 순간의 속도다. 이처럼 한 순간의 변화율을 순간변화율이라 하고, 이를 다루는 것이 미분이다. 이 단원에서는 평균변화율에서 출발해 미분계수와 도함수를 정의하고, 다항함수를 미분하는 방법까지 익힌다.

이 단원, 내가 꺼낼 수 있는지 확인해 볼까요?

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개념 정리

함수 y=f(x)y=f(x)에서 xx가 aa부터 a+Δxa+\Delta x까지 변할 때, yy의 변화량을 xx의 변화량으로 나눈 값을 그 구간에서의 평균변화율이라 한다. 그래프로 보면 두 점을 지나는 직선의 기울기다. 이제 구간을 한없이 좁혀 보자. Δx\Delta x를 00에 한없이 가깝게 보냈을 때 평균변화율이 다가가는 값이 있으면, 그 값을 x=ax=a에서의 미분계수라 하고 f′(a)f'(a)로 쓴다. 곧 f′(a)=lim⁡Δx→0f(a+Δx)−f(a)Δxf'(a)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}이며, 증가량을 hh로 적어 f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}로 쓰기도 한다.
미분계수는 한 점에서의 순간변화율이고, 그래프에서는 그 점에서의 접선의 기울기를 뜻한다. 미분계수가 존재하면 두 점을 지나는 직선의 기울기가 한 점에 가까워지면서 접선의 기울기로 다가간다. 예를 들어 f(x)=x2f(x)=x^2일 때 x=1x=1에서의 평균변화율은 (1+Δx)2−1Δx=2+Δx\frac{(1+\Delta x)^2-1}{\Delta x}=2+\Delta x이므로, Δx\Delta x를 00에 보내면 f′(1)=2f'(1)=2다.
여기서 미분가능성과 연속성의 관계를 짚어야 한다. 어떤 점에서 미분계수가 존재하면 그 함수는 그 점에서 미분가능하다고 한다. 미분가능하면 그 점에서 연속이다. 그런데 거꾸로는 성립하지 않는다. y=∣x∣y=|x|는 x=0x=0에서 이어져 있지만 왼쪽과 오른쪽의 기울기가 달라 미분할 수 없다. 이어져 있다는 것과 매끄럽다는 것은 다른 조건이다.
각 점에서의 미분계수를 대응시켜 만든 함수를 도함수라 하고 f′(x)f'(x)로 쓴다. 미분계수가 특정한 점에서의 값이라면 도함수는 함수라는 점이 다르다. 실제 계산에서는 도함수를 먼저 구한 뒤 원하는 값을 넣는 편이 훨씬 간단하다.
다항함수의 미분은 두 가지만 알면 된다. 상수함수의 도함수는 00이고, nn이 양의 정수일 때 y=xny=x^n의 도함수는 nxn−1nx^{n-1}이다. 지수가 앞으로 나오고 지수는 11만큼 줄어든다. 여기에 계산 규칙이 더해진다. 실수배와 합, 차는 나누어 계산할 수 있어서 {kf(x)}′=kf′(x)\{kf(x)\}'=kf'(x), {f(x)±g(x)}′=f′(x)±g′(x)\{f(x)\pm g(x)\}'=f'(x)\pm g'(x)다. 그래서 f(x)=x3−2x2f(x)=x^3-2x^2이면 f′(x)=3x2−4xf'(x)=3x^2-4x다.
곱은 다르다. 두 함수의 곱을 각각 미분해서 곱하면 안 되고, {f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)로 계산한다. y=x2(x+1)y=x^2(x+1)이라면 2x(x+1)+x2=3x2+2x2x(x+1)+x^2=3x^2+2x이고, 전개해서 x3+x2x^3+x^2을 미분한 결과와 같다. 다항함수라면 전개해 확인할 수 있으니 처음에는 두 방법을 맞춰 보는 것이 좋다. 다음 단원에서는 이 도함수로 접선을 구하고 그래프의 모양을 읽는다.

자주 하는 착각

평균변화율과 미분계수

  1. 평균변화율과 미분계수를 같은 것으로 본다. 둘 다 변화의 비율을 나타내기 때문이다. 평균변화율은 어떤 구간에서 x가 변한 양에 대한 y의 변화량의 비이고, 미분계수는 그 구간을 한없이 좁혔을 때의 값으로 한 점에서의 순간적인 변화율이다. 하나는 구간의 값이고 다른 하나는 점의 값이다.
  2. 미분계수를 구할 때 극한을 빼고 계산한다. 분모와 분자를 약분하면 답이 나온다고 생각하기 때문이다. 약분한 뒤 x의 증가량을 0에 한없이 가깝게 보내는 단계까지 마쳐야 미분계수다. 이 마지막 단계가 순간의 값을 만든다.
  3. 두 값의 기하적 의미를 구분하지 않는다. 그래프에서 기울기라는 말만 남기 때문이다. 평균변화율은 그래프 위 두 점을 지나는 직선의 기울기이고, 미분계수는 그 점에서의 접선의 기울기다.
  4. 정의를 이용해 미분계수를 구할 때 분자와 분모의 대응을 어긋나게 쓴다. 식의 모양을 외워서 옮기기 때문이다. 분모의 증가량과 분자에 들어가는 두 함숫값의 자리가 서로 맞아야 한다. 어느 점에서 얼마만큼 움직였는지를 적어 두고 식을 세우면 어긋나지 않는다.

미분가능성과 연속성

  1. 연속이면 반드시 미분가능하다고 본다. 두 성질을 비슷한 것으로 여기기 때문이다. 절댓값을 포함한 함수의 뾰족한 점처럼 이어져 있어도 미분할 수 없는 곳이 있다. 그 점에서 왼쪽과 오른쪽의 기울기가 다르기 때문이다.
  2. 미분가능성과 연속성의 관계를 양쪽 방향 모두 성립한다고 본다. 한쪽만 배우고 뒤집어 쓰기 때문이다. 어떤 점에서 미분가능하면 그 점에서 연속이지만, 연속이라고 해서 미분가능한 것은 아니다. 방향이 한쪽으로만 성립한다.

도함수와 미분법

  1. 도함수와 미분계수를 구분하지 않는다. 표기가 비슷하기 때문이다. 도함수는 각 점에서의 미분계수를 대응시킨 함수이고, 미분계수는 특정한 점에서의 값이다. 도함수를 먼저 구한 뒤 값을 넣는 순서로 풀면 계산이 간단해진다.
  2. 상수함수의 도함수를 그 상수로 본다. 미분하면 원래 값이 남는다고 생각하기 때문이다. 상수함수는 값이 변하지 않으므로 변화율이 0이다. 그래프가 수평인 직선이라는 점에서도 확인할 수 있다.
  3. 거듭제곱의 미분에서 지수 처리를 잘못한다. 규칙을 모양으로만 외우기 때문이다. x의 n제곱을 미분하면 원래 지수가 앞으로 나오고 지수는 1만큼 줄어든다. 두 가지 변화가 동시에 일어난다.
  4. 두 함수의 곱을 각각 미분해서 곱한다. 실수배와 합, 차에서 나누어 계산했기 때문이다. 곱의 미분은 앞의 것을 미분한 것에 뒤의 것을 곱하고, 앞의 것에 뒤의 것을 미분한 것을 곱해 더한다. 다항식이라면 전개한 뒤 항별로 미분해 확인할 수 있다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

평균변화율과 미분계수는 둘 다 변화의 비율을 나타내므로 같은 값이다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

둘 다 'x의 변화에 대한 y의 변화 비율'을 나타내는 식처럼 보이기 때문에 같은 개념으로 여기기 쉬워요. 하지만 평균변화율은 두 점 사이의 구간 전체를 기준으로 구한 값이고, 미분계수는 그 구간을 한없이 좁혀 나가 결국 한 점에서의 순간적인 변화율로 정해지는 값이에요. 즉, 하나는 구간에서 정의되는 값이고 다른 하나는 한 점에서 정의되는 값이라는 점에서 본질적으로 달라요.
미분계수를 구할 때 분모와 분자를 약분한 뒤, x의 증가량을 0에 한없이 가깝게 보내는 극한 단계까지 마쳐야 비로소 미분계수이다.정답 보기

O (맞는 설명이에요)

분모와 분자를 약분하고 나면 식이 깔끔하게 정리되어 '이미 답이 나왔다'고 느끼기 쉬워요. 하지만 약분은 극한을 계산하기 위한 중간 과정일 뿐이에요. 실제로는 약분 후에도 x의 증가량을 0에 한없이 가깝게 보내는 단계를 반드시 거쳐야 하며, 이 마지막 단계가 순간의 변화율, 즉 미분계수를 완성해요.
평균변화율과 미분계수는 모두 그래프에서의 기울기를 나타내므로 같은 값이다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

둘 다 '기울기'라는 말로 설명되다 보니 같은 값을 가리킨다고 생각하기 쉬워요. 실제로는 평균변화율은 두 점 사이의 변화를 나타내는 직선의 기울기이고, 미분계수는 한 점에서의 접선의 기울기로 서로 다른 기하적 의미를 가져요.

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