피어남

뿌리학습 · 고등 수학

복소수와 이차방정식

실수 범위에서는 제곱해서 음수가 되는 수가 없어서 풀 수 없는 이차방정식이 있다. 이 단원에서는 수의 범위를 복소수까지 넓혀 모든 이차방정식이 근을 갖게 하고, 근을 직접 구하지 않고도 근의 종류를 판별하는 판별식과, 근과 계수 사이의 관계를 배운다. 이 도구들은 이후 이차함수와 부등식을 다루는 기초가 된다.

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개념 정리

제곱해서 −1-1이 되는 수를 ii로 나타내고 허수단위라 한다. 즉 i2=−1i^2=-1이다. a>0a>0일 때 −a=a i\sqrt{-a}=\sqrt{a}\,i로 정한다. 실수 aa, bb에 대하여 a+bia+bi 꼴의 수를 복소수라 하고, aa를 실수부분, bb를 허수부분이라 한다. b≠0b\ne0인 복소수를 허수라 한다. 두 복소수는 실수부분과 허수부분이 각각 같을 때 서로 같다.
복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈은 ii를 문자처럼 계산하고 i2i^2이 나오면 −1-1로 바꾼다. a+bia+bi의 허수부분의 부호를 바꾼 a−bia-bi를 켤레복소수라 한다. 나눗셈은 분모의 켤레복소수를 분자와 분모에 곱해 분모를 실수로 만든다. 예를 들어 11+i=1−i(1+i)(1−i)=1−i2\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-i}{2}이다. 음수의 제곱근끼리 곱할 때는 먼저 ii를 사용한 꼴로 바꾼다. −2−3=2i⋅3i=6i2=−6\sqrt{-2}\sqrt{-3}=\sqrt{2}i\cdot\sqrt{3}i=\sqrt{6}i^2=-\sqrt{6}이다.
계수가 실수인 이차방정식 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0의 근은 근의 공식으로 구하며, 근의 종류는 판별식 D=b2−4acD=b^2-4ac의 부호로 알 수 있다. D>0D>0이면 서로 다른 두 실근, D=0D=0이면 중근(서로 같은 두 실근), D<0D<0이면 서로 다른 두 허근을 가진다. xx의 계수가 b=2b′b=2b'처럼 짝수이면 D4=b′2−ac\frac{D}{4}=b'^2-ac를 써도 부호는 같다.
이차방정식 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0의 두 근을 α\alpha, β\beta라 하면 α+β=−ba\alpha+\beta=-\frac{b}{a}, αβ=ca\alpha\beta=\frac{c}{a}이다. 이를 근과 계수의 관계라 하고, 근이 허근이어도 성립한다. 예를 들어 x2−4x+13=0x^2-4x+13=0은 D4=4−13=−9<0\frac{D}{4}=4-13=-9<0이므로 서로 다른 두 허근을 가지고, 두 근의 합은 44, 곱은 1313이다. 실제로 두 근은 2+3i2+3i, 2−3i2-3i이다.
판별식과 근과 계수의 관계는 다음 단원에서 이차함수의 그래프와 xx축 또는 직선의 위치 관계를 판단하는 데 그대로 쓰인다.

자주 하는 착각

복소수

  1. i²을 1로 계산한다. 제곱하면 양수가 된다는 실수의 성질을 그대로 적용하기 때문이다. 허수단위 i는 제곱해서 -1이 되는 수로 정한 것이므로 i²=-1이다.
  2. √(-2)×√(-3)을 √6으로 계산한다. 양수의 제곱근에서 쓰던 곱셈 규칙을 음수에도 적용하기 때문이다. 먼저 √(-2)=√2i, √(-3)=√3i로 바꾼 뒤 곱해야 하며, 결과는 √6i²=-√6이다.
  3. 복소수 a+bi에서 허수부분을 bi로 읽는다. i까지 허수부분에 포함된다고 생각하기 때문이다. a+bi에서 실수부분은 a, 허수부분은 i의 계수인 b이다.
  4. 켤레복소수를 구할 때 실수부분의 부호까지 바꾼다. '켤레'를 모든 부호를 바꾸는 것으로 이해하기 때문이다. a+bi의 켤레복소수는 a-bi로, 허수부분의 부호만 바뀐다.
  5. 분모에 허수가 있는 식을 그대로 두거나 분자와 분모를 i로만 나눈다. 분모를 정리하는 방법을 모르기 때문이다. 분모의 켤레복소수를 분자와 분모에 곱하면 분모가 실수가 된다.
  6. 두 허수의 대소를 비교할 수 있다고 본다. 실수처럼 큰 수와 작은 수를 정할 수 있다고 생각하기 때문이다. 허수에는 실수와 같은 대소 관계가 없으므로 대소를 비교하지 않는다. 대소 비교는 실수끼리만 한다.

근의 판별과 근과 계수의 관계

  1. 판별식이 음수이면 이차방정식의 해가 없다고 쓴다. 실수 범위에서 배운 내용을 그대로 쓰기 때문이다. 계수가 실수인 이차방정식은 판별식이 음수이면 복소수 범위에서 서로 다른 두 허근을 가진다.
  2. x의 계수가 짝수일 때 쓰는 D/4=b'²-ac에서 b'를 b 그대로 넣는다. 공식의 b'가 무엇인지 헷갈리기 때문이다. b=2b'일 때 b'는 x의 계수의 절반이다.
  3. 두 근의 합을 b/a로 쓴다. 부호를 기억하지 못하기 때문이다. 이차방정식 ax²+bx+c=0의 두 근의 합은 -b/a, 곱은 c/a이다.
  4. 근과 계수의 관계는 실근일 때만 쓸 수 있다고 본다. 허근은 특별한 수라고 생각하기 때문이다. 근과 계수의 관계는 허근이어도 그대로 성립한다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

허수단위 i를 제곱하면 1이 된다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

실수에서는 어떤 수를 제곱하면 항상 양수(또는 0)가 된다는 성질에 익숙하다 보니, i²도 자연스럽게 양수인 1이라고 생각하기 쉬워요. 하지만 허수단위 i는 '제곱해서 -1이 되는 수'로 약속하여 정의된 수이기 때문에, i²=-1이 맞아요. 실수의 제곱 성질을 그대로 허수에 적용하면 안 된다는 점을 기억해 두면 좋아요.
√(-2)×√(-3)=-√6이다.정답 보기

O (맞는 설명이에요)

양수의 제곱근을 다룰 때 √a×√b=√(ab) 규칙을 자주 써 왔기 때문에, 음수의 제곱근에도 그대로 적용하기 쉬워요. 실제로는 √(-2)=√2·i, √(-3)=√3·i로 먼저 바꾼 뒤 곱해야 해요. 그렇게 계산하면 √2·i×√3·i=√6·i²=√6×(-1)=-√6이 되므로, 결과는 √6이 아니라 -√6이에요.
복소수 a+bi에서 허수부분은 bi이다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

a+bi에서 bi 전체가 허수 쪽에 해당한다고 느끼기 쉬워요. 하지만 실제로는 허수부분이란 i 앞에 곱해진 실수 계수만을 가리키므로, a+bi에서 허수부분은 b예요.

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