피어남

뿌리학습 · 고등 수학

적분법

미적분Ⅰ에서는 다항함수만 적분했다. 이제 지수함수와 삼각함수까지 적분하고, 식의 모양이 복잡할 때 쓰는 두 가지 방법을 배운다. 그리고 그 도구로 넓이뿐 아니라 입체도형의 부피와 움직인 거리까지 구한다. 앞 단원에서 배운 미분법을 거꾸로 뒤집으면 여기서 쓰는 적분법이 되므로, 두 단원은 짝을 이루는 내용이다.

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개념 정리

기본 공식부터 보자. n≠−1n\ne-1인 실수 nn에 대해 xnx^n이 정의되는 구간에서 ∫xn dx=1n+1xn+1+C\int x^n\,dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C다. 지수가 −1-1일 때는 늘린 지수가 00이 되어 이 식을 쓸 수 없고, ∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C로 나타낸다. 지수함수는 ∫ex dx=ex+C\int e^x\,dx=e^x+C이고, 밑이 ee가 아니고 a>0a>0, a≠1a\ne1이면 ∫ax dx=axln⁡a+C\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C다. 미분에서 자연로그가 곱해졌으므로 적분에서는 나눈다.
삼각함수는 부호에 주의해야 한다. 각을 호도법으로 잴 때 ∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int\cos x\,dx=\sin x+C이고 ∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int\sin x\,dx=-\cos x+C다. 미분할 때 코사인에 음의 부호가 붙었다면 적분에서는 사인 쪽에 붙는다. 미분과 적분이 서로 반대 과정이라는 점을 떠올리면 어느 쪽인지 확인할 수 있다.
식이 복잡할 때 쓰는 첫 번째 방법이 치환적분법이다. 식 안에 어떤 부분과 그 부분의 도함수가 함께 들어 있으면, 그 부분을 새 변수로 두어 간단하게 만든다. 이때 변수만 바꾸는 것이 아니라 미분한 관계까지 함께 바꾸어야 한다. 정적분이라면 한 가지가 더 있다. 변수를 바꾸었으면 적분 구간도 새 변수의 값으로 바꾸어야 한다. 그러지 않으려면 원래 변수로 되돌린 뒤 값을 넣는다. 이 방법은 합성함수의 미분법을 거꾸로 돌린 것이다.
두 번째는 부분적분법으로 ∫f(x)g′(x) dx=f(x)g(x)−∫f′(x)g(x) dx\int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx다. 곱의 미분법을 뒤집은 식이며, 성격이 다른 두 함수의 곱을 적분할 때 쓴다. 여기서 어느 쪽을 미분할지 고르는 것이 관건이다. 미분하면 간단해지는 쪽을 f(x)f(x)로, 적분하기 쉬운 쪽을 g′(x)g'(x)로 잡는다. 잘못 고르면 남는 적분이 오히려 더 복잡해지므로, 한 번 해 보고 복잡해지면 반대로 잡아 본다.
정적분은 급수의 합과도 이어진다. 구간을 잘게 나누어 만든 합의 극한이 정적분이므로, 거꾸로 구간을 등분해 만든 합의 꼴을 갖춘 극한이라면 정적분으로 바꾸어 계산할 수 있다. 식에서 구간이 어디부터 어디까지이고 몇 등분했는지를 읽어 내는 것이 변환의 핵심이다.
활용은 세 갈래다. 넓이를 구할 때는 교점을 먼저 찾아 구간을 나누고 각 구간에서 위에 있는 함수에서 아래에 있는 함수를 뺀다. 부피는 한 축에 수직인 단면의 넓이를 그 축을 따라 적분해 구하므로, 단면이 어떤 도형인지 정하고 넓이를 식으로 나타내는 것이 첫 단계다. 운동에서는 속도를 적분하면 위치의 변화량이고, 실제로 움직인 거리는 속도의 절댓값을 적분해 구한다. 미분과 적분이 서로 반대 과정이라는 하나의 생각이 이 모든 계산을 꿰고 있다.

자주 하는 착각

여러 가지 함수의 적분

  1. 거듭제곱의 적분 공식을 모든 지수에 그대로 쓴다. 지수를 1만큼 늘리고 그 수로 나눈다는 규칙만 외우기 때문이다. 지수가 −1인 경우에는 늘린 지수가 0이 되어 나눌 수 없다. 이때의 부정적분은 자연로그를 이용해 나타낸다.
  2. 지수함수와 삼각함수의 부정적분에서 부호를 뒤바꾼다. 미분 결과를 거꾸로 떠올리기 때문이다. 코사인을 적분하면 사인이고, 사인을 적분하면 코사인에 음의 부호가 붙는다. 미분할 때와 부호가 붙는 자리가 서로 반대다.
  3. 밑이 e가 아니면서 0보다 크고 1이 아닌 지수함수를 적분할 때 밑의 자연로그를 빠뜨린다. e의 x제곱만 다뤄 왔기 때문이다. 미분에서 자연로그가 곱해졌으므로 적분에서는 그 값으로 나눈다.

치환적분법과 부분적분법

  1. 치환적분법에서 변수를 바꾸고 미분소를 바꾸지 않는다. 문자만 바꾸면 된다고 생각하기 때문이다. 새 변수로 바꿀 때는 그에 맞게 미분한 관계도 함께 대입해야 한다. 이 단계를 빠뜨리면 식이 성립하지 않는다.
  2. 정적분에서 치환하고도 적분 구간을 그대로 둔다. 구간은 문제에 주어진 값이라고 보기 때문이다. 변수를 바꾸면 구간도 새 변수의 값으로 바꾸어야 한다. 구간을 바꾸지 않으려면 원래 변수로 되돌린 뒤 대입해야 한다.
  3. 부분적분법에서 미분할 것과 적분할 것을 아무렇게나 정한다. 공식의 모양만 기억하기 때문이다. 미분하면 간단해지는 쪽을 미분할 함수로, 적분하기 쉬운 쪽을 적분할 함수로 잡는다. 잘못 잡으면 식이 더 복잡해진다.
  4. 두 방법 가운데 어느 것을 쓸지 판단하지 않고 계산부터 시작한다. 방법을 따로 익혔기 때문이다. 식 안에 어떤 부분의 도함수가 함께 들어 있으면 치환적분법이, 성격이 다른 두 함수의 곱이면 부분적분법이 어울린다.

정적분의 활용

  1. 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 공식으로만 외운다. 변환 과정을 보지 않았기 때문이다. 구간을 잘게 나누어 만든 합의 극한이 정적분이라는 데서 나온 관계이므로, 그런 합의 꼴을 갖춘 극한만 정적분으로 바꿀 수 있다. 어떤 구간을 몇 등분했는지를 식에서 읽어 내야 변환할 수 있다.
  2. 두 곡선 사이의 넓이를 구할 때 위아래가 바뀌는 지점을 확인하지 않는다. 한 번의 적분으로 끝내려 하기 때문이다. 교점을 먼저 구해 구간을 나누고, 각 구간에서 위에 있는 함수에서 아래에 있는 함수를 빼야 한다.
  3. 입체도형의 부피를 구할 때 단면의 넓이를 넓이가 아닌 길이로 잡는다. 부피를 한 번에 떠올리려 하기 때문이다. 부피는 축에 수직인 단면의 넓이를 그 축을 따라 적분해 구한다. 먼저 단면이 어떤 도형인지 정하고 그 넓이를 식으로 나타내야 한다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

사인 함수를 적분하면 음의 부호가 붙은 코사인 함수가 되고, 코사인 함수를 적분하면 사인 함수가 된다.정답 보기

O (맞는 설명이에요)

미분할 때의 관계를 떠올리면 '사인 → 코사인, 코사인 → 음의 사인'이라는 순서가 익숙하기 때문에, 적분할 때도 그 결과를 그대로 가져다 쓰기 쉬워요. 그런데 적분은 미분의 역과정이라 부호가 붙는 자리가 반대로 바뀌어요. 실제로는 코사인을 적분하면 사인이 되고, 사인을 적분하면 음의 코사인이 되는 것이 맞아요.
밑이 e가 아닌 지수함수 a^x를 적분하면 a^x / ln a가 아니라 a^x 자체가 된다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

e^x만 주로 다뤄 왔기 때문에 밑이 a인 지수함수도 적분 결과가 그냥 a^x라고 생각하기 쉬워요. 실제로는 a^x를 미분하면 ln a가 곱해지므로, 반대로 적분할 때는 ln a로 나눠 주어야 해요.

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