뿌리학습 · 중학 수학
산포도, 사분위수와 상자그림, 상관관계
두 반의 수학 점수 평균이 똑같이 70점이라고 하자. 한 반은 대부분 65점에서 75점 사이에 모여 있고, 다른 반은 30점부터 100점까지 넓게 퍼져 있을 수 있다. 평균만으로는 이 차이를 알 수 없다. 그래서 자료가 얼마나 흩어져 있는지를 나타내는 값이 필요하고, 이를 산포도라고 한다.
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개념 정리
흩어진 정도를 재려면 기준이 있어야 하는데, 그 기준이 평균이다. 각 변량에서 평균을 뺀 값을 편차라고 한다. 평균보다 크면 양수, 작으면 음수가 되며 순서를 바꾸어 빼면 부호가 반대가 되니 주의해야 한다. 그런데 편차를 모두 더하면 어떻게 될까. 양수와 음수가 서로 상쇄되어 항상 이 된다. 편차의 평균으로는 흩어진 정도를 잴 수 없다는 뜻이다.
그래서 편차를 제곱해 부호를 없앤 뒤 평균을 낸다. 이 값이 분산이고, 분산의 음이 아닌 제곱근이 표준편차다. 변량이 인 자료로 해 보자. 평균은 이고 편차는 차례로 다. 편차의 제곱을 모두 더하면 이고 변량이 다섯 개이므로 분산은 , 표준편차는 다. 분산은 제곱한 값이라 원래 자료와 단위가 다르므로, 제곱근을 취해 단위를 자료와 맞춘 표준편차를 함께 쓴다.
값을 읽는 법도 알아 두자. 표준편차가 크면 값들이 평균에서 멀리 떨어져 있다는 뜻이고, 작으면 평균 가까이 모여 있다는 뜻이다. 평균이 크다는 것과는 아무 상관이 없다. 또 모든 변량이 같으면 편차가 모두 이므로 표준편차도 이 되며, 제곱근으로 정한 값이라 음수가 될 수는 없다.
자료가 퍼진 모습을 그림으로 보여 주는 방법도 있다. 자료를 작은 것부터 크기순으로 늘어놓고, 자료를 네 부분으로 나누는 기준이 되는 세 값을 사분위수라 한다. 가운데 값이 제2사분위수, 곧 중앙값이고, 아래쪽 절반의 중앙값이 제1사분위수, 위쪽 절반의 중앙값이 제3사분위수다. 제1사분위수에서 제3사분위수까지를 상자로 그리고 그 안에 중앙값을 선으로 표시한 뒤 양쪽 끝까지 선을 그은 그림이 상자 그림이다. 상자 안에는 자료의 가운데 50%가 들어 있으므로 상자가 길면 그만큼 넓게 퍼진 것이고, 중앙값 선이 상자 안에서 한쪽으로 치우쳐 있으면 중앙값을 기준으로 양쪽의 퍼진 정도가 다르다는 뜻이다. 두 집단의 상자 그림을 나란히 그리면 분포를 한눈에 비교할 수 있다.
지금까지는 하나의 자료를 살펴보았다. 두 가지 양을 함께 볼 때는 산점도를 그린다. 예를 들어 학생마다 공부한 시간을 가로축에, 점수를 세로축에 잡고 점을 찍는 것이다. 여기서 보는 것은 점이 찍힌 높낮이가 아니라 점들이 이루는 전체적인 방향이다. 점들이 오른쪽 위를 향하면 한쪽이 커질 때 다른 쪽도 커지는 양의 상관관계, 오른쪽 아래를 향하면 음의 상관관계이고, 뚜렷한 경향이 보이지 않으면 상관관계가 없다고 한다. 여기서 조심할 것이 하나 있다. 상관관계가 있다는 말은 두 양이 함께 변하는 경향이 있다는 뜻이지, 한쪽이 다른 쪽의 원인이라는 뜻은 아니다.
고등학교에서는 이 내용이 확률과 통계로 이어진다. 자료 전체가 아니라 일부를 조사해 전체를 추측하는 방법을 배우고, 평균과 표준편차를 이용해 서로 다른 자료를 같은 잣대로 비교하는 방법을 다룬다. 자료를 중심과 퍼짐이라는 두 가지로 나누어 보는 눈이 그 출발점이 된다.
이 단원 시험에서 묻는 것
학교 시험은 교육과정 성취기준을 바탕으로 출제됩니다. 이 단원의 성취기준은 다음을 할 수 있는지 확인하도록 정하고 있습니다.
- [9수04-07]분산과 표준편차를 구하고 자료의 분포를 설명할 수 있다.
자주 하는 착각
산포도와 편차
- 두 자료의 평균이 같으면 자료의 모습도 비슷하다고 본다. 평균을 자료를 대표하는 하나의 값으로 배웠기 때문이다. 평균이 같아도 값들이 평균 가까이 모여 있는 자료와 넓게 퍼져 있는 자료는 전혀 다르다. 그래서 중심을 나타내는 값과 별도로 퍼진 정도를 나타내는 값이 필요하며, 이를 산포도라고 한다.
- 편차를 모두 더해 그 평균을 구하면 퍼진 정도를 알 수 있다고 본다. 평균을 구하던 방식을 그대로 옮기기 때문이다. 편차에는 양수와 음수가 섞여 있어 모두 더하면 항상 0이 된다. 그래서 편차를 제곱해 부호를 없앤 뒤 평균을 내며, 그 값이 분산이다.
- 편차를 평균에서 변량을 뺀 값으로 계산하거나 가장 작은 값을 기준으로 잡는다. 어느 쪽에서 빼든 차이는 같다고 생각하기 때문이다. 편차는 변량에서 평균을 뺀 값이며, 기준은 언제나 평균이다. 순서를 바꾸면 부호가 반대가 되어 자료가 평균보다 큰지 작은지를 반대로 읽게 된다.
분산과 표준편차
- 분산과 표준편차를 같은 값으로 쓴다. 둘 다 퍼진 정도를 나타낸다고 배우기 때문이다. 표준편차는 분산의 음이 아닌 제곱근이다. 분산은 편차를 제곱해 만든 값이라 원래 자료와 단위가 달라지므로, 제곱근을 취해 단위를 자료와 맞춘 표준편차를 함께 쓴다.
- 표준편차가 크면 평균도 크다고 본다. 두 값을 자료의 좋고 나쁨을 나타내는 하나의 지표처럼 여기기 때문이다. 평균은 자료의 중심이 어디인지를, 표준편차는 값들이 중심에서 얼마나 떨어져 있는지를 나타낸다. 평균이 같아도 표준편차는 다를 수 있고, 그 반대도 가능하다.
- 표준편차는 항상 0보다 크다고 보거나, 0이면 자료가 없다고 본다. 퍼진 정도가 0인 상황을 떠올리기 어렵기 때문이다. 모든 변량이 평균과 같으면 편차가 모두 0이어서 분산과 표준편차도 0이 된다. 또 제곱근으로 정한 값이므로 음수가 될 수 없다.
사분위수와 상자 그림
- 상자 그림에서 상자가 길면 자료의 개수가 많다고 본다. 상자의 크기를 자료의 양으로 읽기 때문이다. 상자는 제1사분위수에서 제3사분위수까지의 구간이며 자료의 가운데 50%가 놓이는 범위를 보여 준다. 상자가 길면 그 50%가 넓게 퍼져 있다는 뜻이고, 짧으면 촘촘히 모여 있다는 뜻이다.
- 중앙값을 나타내는 선이 상자의 한가운데 있어야 한다고 본다. 중앙이라는 말을 상자의 가운데로 받아들이기 때문이다. 중앙값 선의 위치는 제1사분위수에서 중앙값까지의 간격과 중앙값에서 제3사분위수까지의 간격을 견주어 보여 주므로, 선이 한쪽으로 치우쳐 있으면 중앙값을 기준으로 양쪽의 퍼진 정도가 다르다는 뜻이다.
산점도와 상관관계
- 상관관계가 있으면 한쪽이 다른 쪽의 원인이라고 본다. 두 양이 함께 변하는 모습을 보면 원인과 결과로 읽고 싶어지기 때문이다. 상관관계는 두 양이 함께 변하는 경향이 있다는 뜻일 뿐이며, 숨어 있는 다른 이유 때문에 함께 변하는 경우도 있다.
- 점들이 오른쪽 아래로 향하면 상관관계가 없다고 하거나, 점들이 위쪽에 모여 있으면 양의 상관관계라고 한다. 관계가 있다는 말을 함께 커지는 경우로만 기억하고, 양과 음을 세로축 값의 높낮이로 읽기 때문이다. 판단의 기준은 점이 찍힌 높낮이가 아니라 점들이 이루는 전체적인 방향이다. 한쪽이 커질 때 다른 쪽도 커지면 양의 상관관계, 한쪽이 커질 때 다른 쪽이 작아지면 음의 상관관계이며, 뚜렷한 경향이 보이지 않을 때 상관관계가 없다고 한다.
이런 오개념, 나도 갖고 있을까?
두 자료의 평균이 같으면 자료의 분포 모습도 비슷하다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
평균을 자료 전체를 대표하는 하나의 값으로 배우다 보면, 평균이 같은 두 자료는 전체적인 모습도 비슷할 것이라고 생각하기 쉬워요. 실제로는 평균이 같더라도 값들이 평균 가까이 모여 있는 자료와 넓게 퍼져 있는 자료는 전혀 다른 모습일 수 있어요. 그래서 자료의 중심을 나타내는 평균 외에도, 값들이 얼마나 퍼져 있는지를 따로 나타내는 산포도가 필요해요.
편차를 모두 더하면 항상 0이 되므로, 편차를 제곱한 값들의 평균인 분산으로 자료가 퍼진 정도를 나타낸다.정답 보기
O (맞는 설명이에요)
평균을 구할 때 자료를 모두 더해 개수로 나누는 방식을 편차에도 그대로 적용하면 퍼진 정도를 알 수 있다고 생각하기 쉬워요. 하지만 편차에는 양수와 음수가 섞여 있어서 모두 더하면 그 합이 항상 0이 되기 때문에, 이 방법으로는 퍼진 정도를 파악할 수 없어요. 실제로는 편차를 제곱해 부호를 없앤 뒤 그 값들의 평균을 구하며, 이렇게 얻은 값을 분산이라고 해요.
편차는 평균에서 변량을 뺀 값으로, 빼는 순서를 바꿔도 차이의 크기는 같으므로 어느 쪽으로 계산해도 무방하다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
차이의 절댓값은 같기 때문에 빼는 순서가 달라도 결과가 같을 것이라고 생각하기 쉬워요. 그런데 순서를 바꾸면 부호가 반대로 되어, 평균보다 큰 변량의 편차가 음수로, 평균보다 작은 변량의 편차가 양수로 나오게 돼요. 편차는 단순히 크기만이 아니라 평균을 기준으로 자료가 어느 방향에 있는지를 나타내는 값이기 때문에, 실제로는 반드시 '변량 − 평균'의 순서로 계산해야 해요.
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자주 묻는 질문
교육부 고시 제2022-33호 수학 교육과정 기반